专题2.1 相交线【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）.docxVIP

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专题2.1相交线【十大题型】

【北师大版】

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【题型1对顶角、邻补角的识别】 1

【题型2由对顶角、邻补角的性质求角的度数】 4

【题型3平面内两直线的位置关系】 8

【题型4作垂线】 11

【题型5由垂线求角度】 14

【题型6过一点有且只有一条直线垂直于已知直线】 18

【题型7点到直线的距离】 20

【题型8垂线段最短】 24

【题型9同位角、内错角、同旁内角的识别】 27

【题型10确定同位角、内错角、同旁内角的对数】 30

【知识点1对顶角、邻补角的概念】

一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.

有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.

【题型1对顶角、邻补角的识别】

【例1】（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）在下图中，∠1和∠2是对顶角的是（???）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】B

【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．

【详解】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故A选项不合题意；

B、∠1与∠2的两边互为反向延长线，是对顶角，故B选项符合题意；

C、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故C选项不合题意；

D、∠1与∠2两条边不是互为反向延长线，不是对顶角，故D选项不合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的．

【变式1-1】（2023下·湖北荆门·七年级统考期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用邻补角定义进行解答即可．

【详解】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；

B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；

C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；

D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；

故选：B．

【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

【变式1-2】（2023下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有对．

【答案】72

【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角；

②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对；

③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对；

④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对；

即对顶角的对数为，2，6，12，20……，

以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：n2

根据n条直线相交于一点，构成n2

当n=9时，n2?n=（9

故答案为：72．

【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．

【变式1-3】（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角．

(1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角；

(2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角；

(3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角；

(4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？

【答案】(1)2，4

(2)6，12

(3)12，24

(4)若有n条直线相交于一点，则可形成nn?1对对顶角，2n

【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；

（2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；

（3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；

（4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论．

【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角；

故答案为：2，4；

（2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角；

故答案为：6，12；

（3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角；

故答案为：12，24；

（4）解：2条直线相交于一点，