专题2.7 平行线的性质与判定中的三种常用辅助线（北师大版）（解析版）.docxVIP

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专题2.7平行线的性质与判定中的三种常用辅助线

【北师大版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线的性质与判定中的三种常用辅助线大题型的理解！

【题型1过“拐点”作平行线】

1．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，已知∠A=90°+α，∠C=90°?α，且∠BED=135°．若∠ABE=70°，求∠D的度数．

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【答案】∠D=65°

【分析】过点E作EF∥AB，由题意可判定EF∥CD，从而得∠BEF=∠ABE=70°，再利用平行线性质求解即可．

【详解】如下图，过点E作EF∥AB，

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∵∠A=90°+α，∠C=90°?α，

∴∠A+∠C=90°+α+90°?α=180°，

∴AB∥CD,

又∵EF∥AB，

∴EF∥CD，

∵∠ABE=70°，

∴∠BEF=∠ABE=70°,

又∵∠BED=135°，

∴∠DEF=135°?70°=65°，

∴∠D=∠DEF=65°．

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理以及证明EF//

2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线

(1)【基础问题】如图1，试说明：∠AGD=∠A+∠D．（完成下面的填空部分）

证明：过点G作直线MN∥

∵AB∥

∴_______①_______∥CD

∵MN∥

∴_______②_______=∠MGA．

∵MN∥CD，

∴∠D=_______③_______（_______④_______）．

∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D．

(2)【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．

(3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF=22°，∠AFC=72°，那么∠H的度数为________．

【答案】(1)MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等

(2)∠AGD=∠A?∠D，理由见解析

(3)32°

【分析】（1）过点G作直线MN∥

（2）过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A=∠AGM，∠D=∠DGM，则

（3）利用平行线的性质求出∠GAB的值，再利用平行线的性质进行计算即可；

本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.

【详解】（1）过点G作直线MN∥

∵AB∥

∴MN∥

∵MN∥

∴∠A=∠MGA，

∵MN∥

∴∠D=∠DGM（两直线平行，内错角相等），

∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D；

故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等；

（2）如图所示，过点G作直线MN∥

又∵AB∥

∴MN∥

∵MN∥

∴∠A=∠AGM，

∵MN∥

∴∠D=∠DGM，

∴∠AGD=∠AGM?∠DGM=∠A?∠D；

（3）如图所示，

∵∠AFC=72°，

∴∠GAB=180°?72°=108°，

∵AH平分∠GAB，

∴∠HAB=1

∵DC∥AB，

∴∠HQC=54°，

∴∠H=∠HQC?∠HDF=54°?22°=32°．

3．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点Q为射线

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(1)如图1，若∠A=22°，∠C=35°，则∠AQC=．

(2)如图2，当点Q在线段EF的延长线上时，请写出∠A、∠C和∠AQC三者之间的数量关系，并说明理由．

(3)如图3，AH平分∠QAB，CH交AH于点H．

①若CH平分∠QCD，求∠AQC和∠AHC的数量关系．

②若∠QCH:∠DCH=1:3，∠HCD=33°，∠AHC=25°，直接写出∠AQC的度数为．

【答案】(1)57°

(2)数量关系：∠A?∠C=∠AQC，理由见解析

(3)①∠AHC=12∠AQC，②

【分析】（1）过点Q作QH∥AB，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；

（2）过点Q作MN∥CD，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；

（3）①过点H作PH∥CD，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；

②根据①的结论，利用角的关系解答即可．

【详解】（1）解：过点Q作QH∥AB，

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∵AB∥CD，

∴QH∥AB∥CD，

∴∠C=∠CQH=35°，∠A=∠HQA=22°，

∴∠AQC=∠CQH+∠HQA=35°+22°=57°，

故答案为：57°；

（2）数量关系：∠A?∠C=∠AQC，

证明：过点Q作MN∥CD，

??

∵AB∥CD，

∴AB∥MN，

∴∠NQC=∠C，∠MQA=180°?∠A，

∴∠AQC=180°?∠NQC?∠MQ