专题2.11 相交线与平行线章末八大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版）.docxVIP

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专题2.11相交线与平行线章末八大题型总结（拔尖篇）

【北师大版】

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【题型1平行线在三角板中的运用】 1

【题型2平行线在折叠中的运用】 15

【题型3旋转使平行】 21

【题型4利用平行线求角度之间的关系】 25

【题型5利用平行线解决角度定值问题】 36

【题型6平行线的阅读理解类问题】 45

【题型7平行线的性质在生活中的应用】 55

【题型8平行线与动点的综合应用】 59

【题型1平行线在三角板中的运用】

【例1】（2023下·浙江温州·七年级校考期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．

??

(1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，直接写出此时t的值；

(2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系．

(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请直接写出此时t的值．

【答案】(1)3

(2)∠ECB?∠DCA=15°

(3)15或24或33

【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=12∠DCE=15°

（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°?5t，∠ECB=45°?5t，即可得出∠ECB?∠DCA=15°；

（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．

【详解】（1）解：如图2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，

??

∴∠DCE=30°，

∵AC平分∠DCE，

∴∠ACE=1

∴t=15

答：此时t的值是3；

（2）解：当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3；

??

由旋转得：∠ACE=5t，

∴∠DCA=30°?5t，∠ECB=45°?5t，

∴∠ECB?∠DCA=45°?5t

（3）解：分三种情况：

①当AB∥

??

此时BC与CD重合，

t=30+45

②当AC∥

??

∵AC∥

∴∠ACD=∠D=90°，

∴∠ACE=90°+30°=120°，

t=120÷5=24；

③当BC∥

??

∵BC∥DE

∴∠BCD=∠CDE=90°

∴∠ACD=90°+30°+45°=165°

∴t=165÷5=33

综上，t的值是15或24或33．

故答案为：15或24或33．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的计算，平行线的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．

【变式1-1】（2023下·河南安阳·七年级统考期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．

(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；

(2)类比探究，若按住三角板ABC不动，顺时针绕直角顶点C转动三角形DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；

(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．

【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°

(2)当∠ACD=60°或120°时，CE//AB

(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE

【分析】（1）由三角板的特点可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根据∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE?∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；

（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；

（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．

【详解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB?∠ACD=∠DCE?∠ACD，即∠BCD=∠ACE．

∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE?∠ACE，

∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．

故答案为：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；

（2）分类讨论：①如图1所示，

∵CE//AB，

∴∠ACE=∠BAC=30°，

∴∠ACD=∠DCE?∠ACE=90°?30°=60°；

②如图2所示，

∵CE//AB，

∴∠BCE=∠B=60°，

∴∠ACD=360°?∠ACB?∠DCE?∠BCE=360°?90°?90°?60°=120°．

综上可知当∠ACD=60°或