第八讲 二次函数的实际应用（题型突破+专题精练）（解析版）.docxVIP

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题型一抛物线型问题

1．（2021·贵州中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．

【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8

【分析】

（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；

（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；

（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．

【详解】

（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，

设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，

把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，

∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；

（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，

答：他的头顶不会触碰到桥拱；

（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，

当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，

∴新函数表达式为：，

∵将新函数图象向右平移个单位长度，

∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，

根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．

【点睛】

本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．

2．（2021·浙江）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．

（1）求桥拱项部O离水面的距离．

（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

【答案】（1）6m；（2）①；②2m

【分析】

（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；

（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；

②设彩带长度为h，则，代入求值即可．

【详解】

解（1）设，由题意得，

，

，

，

当时，，

桥拱顶部离水面高度为6m．

（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，

设，

，

，

，

，

(左边抛物线表达式：)

②设彩带长度为h，

则，

当时，，

答：彩带长度的最小值是2m．

【点睛】

本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．

3.（2022·陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；

（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．

(1)

依题意，顶点，

设抛物线的函数表达式为，

将代入，得．解之，得．

∴抛物线的函数表达式为．

(2)

令，得．

解之，得．

∴．

【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．

4.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，