(5.2.2)--3.1 主成分分析——投资效益分析.ppt

数学建模MathematicalModeling

多元统计分析PopulationForecastModel

多元统计分析主成分分析因子分析聚类分析相关性分析回归分析

主成分分析PopulationForecastModel

主成分分析背景01

一、主成分分析背景人脸识别

一、主成分分析背景在研究实际问题时，往往需要涉及多个变量，而通常多个变量间存在较强的相关关系，即这些变量间存在较多的信息重复，假如直接利用它们进行分析，不但模型复杂，还会因为变量间存在多重共线性而引起较大的误差。主成分分析——用较少的新变量代替原来较多的旧变量，但同时这种代替仍可以反映原来多个变量的大部分信息。

主成分分析数学模型02

主成分分析（PCA）是一种数学降维的方法。方差越大，包含的信息越多该方法通过构造原变量的一系列线性组合形成一组新的互不相关的新变量，使这些新变量尽可能多地反映原变量的信息。二、主成分分析数学模型模型思想

二、主成分分析数学模型数学模型设变量经过线性变换后得到新的综合变量，即满足以下条件：第一主成分第二主成分第p主成分

模型建立步骤03

原始数据标准化处理计算样本相关系数矩阵R计算R的特征值和特征向量选择重要的主成分计算综合得分三、模型建立步骤

三、模型建立步骤原始数据标准化处理假设指标变量有p个，共有n个待评价对象，记第i(i=1,2,...,n)个评价对象的第j(j=1,2,...,p)个指标的取值为，构成的指标向量记为，将各指标值转换成标准化指标的公式为:其中标准化后的指标向量记为

三、模型建立步骤计算相关系数矩阵R其中是第i个指标与第j个指标的相关系数，定义为

三、模型建立步骤计算相关系数矩阵的特征值和特征向量解特征方程 ，求得特征值并按从大到小排列，即 .对应的单位特征向量为其中根据主成分分析理论可知，yj的系数向量等于uj,即第j主成分的表达式为

三、模型建立步骤选择重要的主成分——累计贡献率主成分贡献率的定义为：某个主成分的方差占全部方差和的比重，也就是某个特征值占全部特征值总和的比重。第j个成分的贡献率为:前m个成分的累计贡献率为:在实践中，一般要求选取主成分的累计贡献率达到85%以上。

三、模型建立步骤计算综合得分综合得分计算公式如下：然后，根据每个待评价对象的综合得分值，对其进行评价。

案例分析04

这是我国1984—2000年宏观投资的一些数据,试利用主成分分析对投资效益进行分析和排序。年份投资效果系数（无时滞）投资效果系数（时滞一年）全社会固定资产交付使用率建设项目投产率基建房屋竣工率19840.710.490.410.510.4619850.40.490.440.570.519860.550.560.480.530.4919870.620.930.380.530.4719880.450.420.410.540.4719890.360.370.460.540.4819900.550.680.420.540.4619910.620.90.380.560.4619920.610.990.330.570.4319930.710.930.350.660.4419940.590.690.360.570.4819950.410.470.40.540.4819960.260.290.430.570.4819970.140.160.430.550.4719980.120.130.450.590.5419990.220.250.440.580.5220000.710.490.410.510.46四、案例分析

五、案例分析1.初始数据标准化后的相关系数矩阵为：

五、案例分析2.相关系数矩阵的特征根及其贡献率如下表所示主成分分析结果序号特征根贡献率累计贡献率13.134362.686662.686621.168323.367086.053630.35027.003693.057240.22584.516297.573450.12132.4266100.0000前三个特征根的累计贡献率已经达到93％以上，选前三主成分作分析。

五、案例分析3.选择重要的主成分，并写出主成分表达式前三个特征值对应的特征向量分量1分量2分量3分量4分量5第1特征向量0.49050.5254-0.48710.0671-0.4916第2特征向量-0.29340.0490-0.28120.89810