《幂函数》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】.pptxVIP

幂函数

（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付p＝w元，这

里p是w的函数；

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；

（3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；

（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c＝，这里c是S的函数；

（5）如果某人ts内骑车行进1km，那么他骑车的平均速度v＝，这里v是t的函数.

问题1观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共

同特征吗？

问题导入

y＝x0，y＝x4，y＝x－2，y＝等.

问题1观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共

同特征吗？

问题导入

追问1你还能举几个相同结构的函数的例子吗？

共同特征是：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量.

幂函数定义：

一般地，函数y＝xα叫做幂函数（powerfunction），其中x为自变量，

α为常数.

对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，，－1时的图象与性质.

问题导入

（1）函数的对应关系的表示、定义域、值域、单调性和奇偶性等.

（2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再

利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.

（2）你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方

法吗？

问题2（1）对于一类新函数，请你思考我们需要从哪些方面

入手去研究？

新知探究

问题3请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=和y＝的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填

写在表内.

新知探究

y＝x

y＝x2

y＝x3

y=

y=

奇偶性

单调性

定义域

值域

图1

新知探究

问题3请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=和y＝的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填

写在表内.

在(-∞,0）上单调递减，在（0，+∞)上单调递增

在(-∞,0），（0，+∞)上单调递减

在(-∞,+∞)上单调递增

在(-∞,+∞)上单调递增

在[0，+∞)

上单调递增

y＝x2

y=

y＝x3

y＝x

y=

单调性

R

奇函数

{y|y≥0}

{x|x≠0}

奇函数

R

{y|y≠0}

奇函数

R

R

{x|x≥0}

奇函数

非奇非偶函数

R

{y|y≥0}

定义域

奇偶性

值域

表1

追问2这5个幂函数的图象均过第一象限，如何确定是否过第二或第

三象限？

如果定义域为{x|x≥0}，则不过第二、三象限，比如y=;

如果定义域包含(-∞,0），可以结合奇偶性判断，

如果为偶函数，则过第二象限，比如y＝x2；

如果为奇函数，则过第三象限，比如y＝x和y＝x3.

新知探究

追问1结合图1和表1，你能总结出这5个幂函数的共性吗？

图象都过点（1，1），图象都经过第一象限.

新知探究

追问3在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？

y＝在（0，+∞)上单调递减，图象向上与y轴无限接近，

向右与x轴无限接近，其余均单调递增．y＝x的图象是一条直线，

其余全是曲线；当0＜x＜1时，

当x＞1时，y＝x的图象

位于该直线的下方.

相比y＝的图象，y＝x2

和y＝x3的图象与y＝x的

图象的位置关系正好相

反（如图2），

y＝x的图象位于该直线的上方；

图2

新知探究

追问3在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？

即：当0＜x＜1时，y＝x2的图象位于y＝x3的图象的上方，

当x＞1时，y＝x2的图象位于y＝x3的图象的下方（如图3）.

图3

例1证明幂函数f（x）＝是增函数.

证明：函数的定义域是[0，+∞).

∀x1，x2∈[0，+∞),且x1＜x2，

f（x1）－f（x2）===因为x1－x2＜0，＞0，所以f（x1）＜f（x2），即幂函数f（x）＝是增函数.

新知探究

解：（1）（－1.5）3和（－1.4）3可看作函数y＝x3当x分别取－1.5和

-1.4时所对应的两个函数值.

y＝x3在(-∞,+∞)上单调递增，

因为－1.5＜