椭圆的定义及标准方程教案.docVIP

PAGE

PAGE1

椭圆及其标准方程

长治八中李玲

一、教学目标

1.知识与技能

理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导过程.

2.过程与方法

通过椭圆定义概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法.

3.情感、态度与价值观

通过椭圆定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范解答，体会运动变化、对立统一的思想.

二、教学重点难点

1.重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程.

2.难点：椭圆标准方程的推导，椭圆定义中对常数加以限制的原因.

三、教学方法：启发引导，合作探究

四、教具：多媒体、三角板

五、教学过程

（一）创设情境，引入概念

由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹，太阳系中行星的运行轨道等及现实生活中的多幅椭圆图片引入，让学生从感性上认识椭圆。

（二）实验探究，形成概念

动手实验：学生分组动手画出椭圆。

试验一：把一根长为的细绳的两端用图钉分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的是什么图形？

（1）在这个运动过程中，什么是不变的？

（2）在上面过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

概括椭圆定义

M引导学生概括椭圆定义

M

椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于常数的点的轨迹叫椭圆。

（三）归纳定义，完善定义

试验二：保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？（学生分组讨论）

当两定点间距离等于线段长度时的轨迹（为一条线段）和当两定点距离大于线段长度时的轨迹（不存在），由学生完善椭圆定义中常数的范围。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质？

令椭圆上任一点M，则有

定义的应用

例1.已知定点F1，F2,且|F1F2|=10，动点M分别满足下列条件时的轨迹是什么？

（1）|ＭF1|+|ＭF2|=10；

（2）|ＭF1|+|ＭF2|=16；

（3）|ＭF1|+|ＭF2|=6.

（1）因为|ＭF1|+|ＭF2|=10=|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2.

（2）因为|ＭF1|+|ＭF2|=1610=|F1F2|，所以动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.

（3）因为|ＭF1|+|ＭF2|=610=|F1F2|，所以动点M的轨迹不存在.

变式练习

1.若动点M到定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2，则动点M的轨迹是（）

A.椭圆B.直线F1F2

C.线段F1F2 D.线段F1F2的垂直平分线

点拨：|ＭF1|+|ＭF2|=2=|F1F2|，故M的轨迹为线段F1F2

（四）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求圆的方程的一般方法和步骤是什么？

（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有

，尝试推导椭圆的方程。

M

M

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

xy

x

y

M

O

x

x

y

M

O

方案一：以两个定点,所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，则

，

所以得，

思考一：1.化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？2.对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？

学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果。

化简，得

思考二：如何使方程变得简洁？

观察下图，找出表示a、c、的线段

由∣M0∣=，令b=,b2=a2-c2，即：代入得椭圆形标准方程：+=1，根据上图知：。

方案二：建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出+=1，同样也有a2－c2=b2(b0)。

教师指出：我们所得的两个方程+=1和+=1（）都是椭圆的标准方程。

（五）归纳概括，方程特征

观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）这里的“标准”