2012年福师大网络教育实变函数作业3.pdfVIP

《实变函数》网络作业3

f(x)Rf(x)f(x)

1.设是上的实函数，若把开集映为开集，问是否连续？连续映射是否

一定把开集映为开集？

解：不一定.

nnP

[,1]nn

反例1：在每个闭区间（为一切整数）上作康托三分集，令



GnnPPPGG

n[,1]\n,n,n

nnGPG(,)RG

，则为开集，.设开集的所有构成

(ak,bk)(k1,2,)R

区间为.下面定义上函数

0,xP





f(x)tan[(1bkx)],x(ak,bk)(k1,2,)

2bkak，则显然P中每一点都是f(x)的间断点.可

f(x)R(,)R(,)

以明这时把中开集映射为开集.事实上，设为中开区间，若含在某个

1b1b

kk

(tan[()],tan[()])

(ak,bk)f(x)(,)2bkak2bkak

构成区间内，则把开区间映为开区间；

(,)f(x)Rf(x)(,)R

若中含有P中的点，这时为上的连续影射，但为把开区间映为.

f(x)x2f(x)Rf(x)

反例2：