第6章-向量空间.pptVIP

6.1定义和例子向量空间的定义向量空间的例子向量空间的一些简单性质6.2子空间子空间的定义子空间的例子子空间的判断子空间的交与和6.3向量的线形相关性6.4基和维数6.5坐标6.6向量空间的同构*6.1定义和例子6.2子空间6.3向量的线性相关性6.4基和维数6.5坐标6.6向量空间的同构6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间向量空间第六章向量空间的定义向量空间的例子向量空间的一些简单性质定义1令F是一个数域.F中的元素称为标量或数量,用小写拉丁字母a,b,c,…表示.令V是一个非空集合.V中的元素称为向量,用小写希腊字母表示.若下列条件被满足,就称V是数域F上的一个向量空间:1.在V中定义了一个加法,对于任意的,有V中唯一确定的一个向量与它们对应,这个向量叫做与的和,记为.2.有一个标量与向量的乘法.对于任意的a?F和?V,3.向量的加法和数乘满足下列运算律:有V中记为（1）（2）??V,使得:对??V,有,称为的零（3）向量对??V，??V,使得+=，称为的负（4）向量；（5）（6）（7）（8）例1解析几何中的和对于向量的加法与实数与向量的乘法运算来说是实数域R上的一个向量空间.在和中的向量是有向线段或理解成是形如(x,y,z)的点的坐标.例2数域F上的一切m?n矩阵所成的集合对于矩阵的加法与矩阵的乘法来说做成数域F上的一个向量空间.例3复数域C可以看成是实数域R上的向量空间.例4任意数域F都可以看成是它自身上的向量空间.例5收敛于0的实数无穷序列构成的集合做成实数域R上的向量空间由结合律知:有意义.命题6.1.1在一个向量空间V里,零向量是唯一的;对于V中的每一个向量,的负向量是由唯一决定的.证明零向量的唯一性:设和都是零向量,则有证明负向量的唯一性:设和都是的负向量.即有，.子空间的例子子空间的判断子空间的交与和子空间的定义W中任两个向量，它们的和是V中一个向量。一般设V是数域F上一个向量空间。W是V的一个非空字集。对于说来，不一定在W内。如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加法是封闭的。同样的乘法封闭也也是一样的。定理6.2.1设W是数域F上向量空间V的一个非空子集。如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法是封闭的，那么W本身也作成F上一个向量空间。定义1令W是数域F上向量空间V的一个非空子集。如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V的一个子空间。例1向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合显然对于V的加法和标量与向量的乘法是封闭的，因而也是V的一个子空间，称为零空间。例2在空间里，平行于一条固定直线的一切向量作成的一个子空间。在空间里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成的子空间。例3中一切形如的向量作成的一个子空间。例4中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成的一个子空间判断子空间用到如下定理：定理6.2.2数域F上向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间，必要且只要对于任意和任意都有都含有V的零向量，所以。设设是向量空间V的两个子空间。那么它们的交也是V的一个子空间。事实上，由于