求函数极值的若干方法.docVIP

求函数极值的假设干方法

摘要函数的极值是函数的很重要性质之一，在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用.很多的实际问题最终都可以归结为求函数极值的问题.本文主要总结了一元函数和二元函数极值的判断方法和求法，从而使计算简洁，并给出了相关的一些例子.

关键词：函数极值充分条件乘数法

1一元函数极值问题

1.1一元函数极值的定义

设函数在的一个邻域内有定义,如果对于这个邻域内的不同于的所有的x都有以下不等式成立，即，那么我们就把称为函数的极小值,就是的极小值点;反过来，如果，那么我们就把称为的极大值，就是的极大值点.无论是函数的极小值还是极大值，我们都把它们叫做函数的极值.极值点有两类，分别为极小值点和极大值点.

1.2对于不同类型的一元函数极值的求解方法

二次函数：

在中学数学中我们曾讲了二次函数的图象是一条抛物线,从所学的图象中可以很清楚地分析出：

当时，函数的图象抛物线开口向上,它的纵坐标由递减变为递增，从而这个顶点的纵坐标就相当于极小值.

当时,函数的图象抛物线开口向下,它的纵坐标由递增变为递减，从而这个顶点的纵坐标就相当于极大值.

因此,想要求得二次函数的极大值或者极小值只需要求得这个该函数的顶点坐标即可，于是用配方法将写成如下形式，那么该二次函数的顶点坐标是.

当时,该坐标值就是极小值.

当时，该坐标值即为极大值.

例1某玩具厂生产某种儿童玩具，年产量为x百件，总本钱是(万元)，其总收入为，试求总利润为最大时最正确产量.

解设为总利润，那么为一元二次函数的形式，那么由上可知，，即当产量为4百件时，利润取得极大值5万元，此时极大值就是最大值.

一般函数

定理1：设函数在点处是连续的，在的某个邻域内是可求导的.

(1)当时，所有的x都满足；当时，所有的x都满足，如果上述两个条件都成立时，那么我们得出在处可以取到极小值.

(2)当时，所有的x都满足，而当时，所有的x都满足，如果上述两个条件也都成立时，那么我们就可以得出在处可以取到极大值.

(3)当时，的符号一直不会改变，即所有的都满足或所有的都满足，那么在这种情况下，我们可以得出在点不能取到极值.

定理2：设函数在点处存在二阶的导数，如果满足=0且，那么可以取到极值.

(1)当时，那么我们可以在点取到极小值，就叫做的极小值点.

(2)当时，就叫做的极大值点，在点可以取到极大值.

应该值得注意的是：如果出现=0且的情形，那么这个时候如果我们还想着用上述定理2的方法去寻找极值就不满足了，以下的定理可以帮助我们解决.

定理3：设函数在的某个邻域内存在着直到阶的导函数，在点处阶是可以求导的，并且成立〔1，2，…，〕，，那么,

(1)当为偶数的时候，在点处可以取到极值，并且如果我们可以在点处取到极小值，如果时，极大值在点取到.

(2)当为奇数的时侯，在这种情况下在点处的极值我们是取不到的.

例2：对于上述事例1，也可用微分法求得极值.

解，令，那么,

当时，,

当时，,

根据定理1，我们得出,在的时候可以取到极大值,这个时候的极大值其实也就是我们所要求得的最大值.

例3：求函数的极值.

解对原函数求一阶导得，

，

令，

得到驻点，

，

如果用定理1，我们无法判别，继续求导,有

，,

这时发现定理2条件也不满足，再进行求导,有

，，

继续求导，得，

,.

由定理3，知：，导数第一个不是零的阶数，它是偶数的，因此这个函数我们是可以取到极值的，而且可以进一步断定是极小值.

例4：设是方程的一个解而且，，那么这个函数在点点处〔〕.

A．可以取到极大值B．某邻域内是呈现单调递减的

C.可以取到极小值D．某邻域内是呈现单调递增的

分析这是一道考研题目，乍一看是关于微分方程方面的问题，假设从微分方程方面着手，那么就会容易走入误区，我们观察一下四个选项可以知道是关于极值问题的.

由于，

所以，

又，，

所以.

根据定理2我们就可以得出在点处取到了极大值。这个题目巧妙地根据信息变形，然后运用了定理2，从而得到答案，应选(A).

总结：求一元函数〔一般〕的步骤：

a首先我们把所要讨论的函数的定义域给求出来

b求出导数〔当使用极值第一充分条件即定理1进行判断〕和〔当使用极值第一充分条件即定理2进行判断〕.

c我们令，，求出函数和的所有的稳定点，还有的所有不可导点，因为此处是有可能成为极值点的.

d当我们采用定理1的方法判定时，要判断出所有的稳定点左右邻域的符号；当我们采用定理2判定时，那么要确定出在其稳定点两边的符号，然后再对照定理1或者2来判别出该点是不是极值点.

e对于定理1和定理2的条件都不满足的情形，我们要运用定理3，继续求导，直到求导不为零为止，查看n的奇偶