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初等数论1什么是函数方程？

1(什么是函数方程,

我们还是先从方程谈起.对于方程，大家已经是相当熟悉的了.开始学习中学数学不久，同学们首先就遇到了最简单的方程——一元一次方程.接着相继学习了二次方程、分式方程、无理方程.一直到最后，又研究了更为复杂的高次方程、指数方数、对数方程、三角方程等等.由于方程在实践和理论上的重要性，这部分内容就成了中学数学主要组成部分之一.

让我们来回忆一下有关的一些概念:

什么是方程,在中学数学里，我们把方程定义为含有未知数的等式.等式

22x，6x,8,x,5(1)

就是一个关于未知数x的方程.

如果任意给予未知数一个值，一般来说，方程两边的表达式的值可能是不相等的.例如，在方程(1)中，取x=-1，容易计算，方程左边的值是-12，而右边的值为-6，两者就不相等.但对于未知数的某个(或某些)“特殊”值，方程两边的表达式的值却可能恰好相等.不难

114验证，如果x=-3或x=，方程(1)两边的值相等，都等于-8或-.这种能使方程两边22

1的表达式的值相等的未知数的值，叫做方程的解.x=-3，x=就是方程(1)的两个解.当然，2

并不是所有方程都有解.例如，方程

2x,,5

在实数范围内就没有解.

如果方程无解，证明它无解;如果方程有解，把这些解找出来，这件工作叫解方程.

以上这些，还可以换个说法.从函数的角度看，一个(一元)方程的两边的未知数的表达式，分别可以看作是同一个自变量的两个函数.例如，方程(1)的右边是一个一次函数:

f(x),x,5;1

左边是一个二次函数:

2.f(x),2x，6x,82

显然，对于某一个特定的方程，方程两边的函数是确定的.因而，我们可以把方程看作是含有确定的函数的等式.所谓方程的解，就是使两边函数的值相等的自变量的值.解方程的问题，就是要寻求自变量的这样的值，它能使这两个函数的值相等;或者证明自变量的这样的值并不存在.

大家熟知的方程的图象解法，就是建立在这种观点之上的.以上述方程(1)为例，我们

2f(x),x,5在同一坐标系里，分别作出函数和的图象(图1).抛f(x),2x，6x,812

11,,y,f(x)y,f(x)P(,3?,??,8)物线与直线的交点坐标是和.这表P??,,4,,211222,,

1明，当x=-3或x=时，2

22x，6x,8函数和x-5

1,4有相等的值(分别是-8和).2

方程(1)的解自然就是

1x=-3和x=了.122

图1

方程的两边除了可以是确定的函数外，还可能是不确定的、未知的函数.这种方程对于大家来说其实并不十分陌生.回想一下我们是如何定义偶函数、奇函数、周期函数的:对于自变量x的任何值，满足下述关系的函数

()(),(2)f,x,fx????????????????????????????

()(),(3)fxfx???????????????????????????,,,

f(xa)f(x)?,??????(a)????(4)，,是不为零的常数

分别叫做偶函数、奇函数和周期函数.但在这里，自变量x应当是取任意的值(当然要在函数的定义域内)都能使方程成立(即能使两个函数的值相等)，而不是象在普通方程中那样，只是对于自变量的某个(或某些)特殊的值才能使方程成立.在这里，未知的不是函数的自变量(因为它可以取定义域中的任意值)，未知的是函数本身.这种含有未知函数的等式，叫函数方程.方程(2)，(3)，(4)都是函数方程.

函数方程的解的含义也与普通方程不同.如前所述，普通方程的解，是能使方程两边的函数(这些函数是确定的)值相等的自变量的值，从而它的解是一个或若干个数，而函数方程的解，是指能使方程成立的函数，从而它的解是一个或若干个函数.例如函数

2，f(x),x

代入方程(2)的左边，得

22，f(,x),(,x),x

右边也是

2.f(x),x

所以不论对于自变量的任何值，始终有

22.(,x),x

2可见函数f(x)=x是方程(2)的一个解.不难验证，函数

2n?(),,(是正整数)nfxx????

(),||,(),cos,xfxx?f??x?

(),|sin|,(),,(是常数)Kfxx?f??xK???????

22(),,,(r是非零常数)fxrx??????

2f(x),,(x)?,??[,(x)是任意函数]

等等，都是函数方程(2)的解.

类似地，也可以举出函数方程(3)的一些解来.例如，

(),,(是常数)fxKx?????K

2n，1(),,()fxx???n是正整数

K????K是常数f(x),,()

x

|x|f(x),?,f??(x),sinx?,f??(x),tgx