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2021年九年级数学中考复习——几何小专题：
三角形综合之解答题专项
1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，点D为BC边上一点，连接AD，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接EC．直接写出线段BD与CE的数量关系为，位置关系为．
（2）如图2，点D为BC延长线上一点，连接AD，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接EC．
①用等式表示线段BC，DC，EC之间的数量关系为．
②求证：BD2+CD2＝2AD2．
（3）如图3，点D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，若BD＝13，CD＝5，求AD的长．
2．如图1，平面直角坐标系中，点A（0，a﹣2），B（b，0），C（b﹣6，﹣b），且a、b满足a2﹣2ab+2b2﹣16b+64＝0，连接AB、AC，AC交x轴于D点．
（1）求C点的坐标；
（2）求证：∠OAC+∠ABO＝45°；
（3）如图2，点E在线段AB上，作EG⊥y轴于G点，交AC于F点，若EG＝AO，求证：EF＝OD+AG．
3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
4．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝5，D为直线BC上一动点，以AD为边作等边△ADE（A，D，E三点逆时针排列），连接CE．
（1）如图1，若D为BC中点，求证：AE＝CE；
（2）如图2，试探究AE与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接BE，在D点运动的过程中，当BE最小时，则线段CD的长为．
5．已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．
（1）如图1．当PB＝3AP时，△BPC的面积为；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．
①如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，求BB′的长度；
②如图3，当PB＝6时，在直线l变化过程中．请直接写出△ACB′面积的最大值．
6．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）直接写出∠AEB的度数；
（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5cm，点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB向终点B运动过．点P作PQ⊥AC于Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作长方形PQMN，使PN＝2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段BP的长度．
（2）当点N落在BC边上时，求t的值．
（3）用含t的代数式表示S．
（4）当点C与长方形PQMN的顶点所连的直线平分△ABC的面积时，直接写出t的值．
8．如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；
（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；
（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．
（1）当AD＝1时，求FB的长；
（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．
10．如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为（直接写出结果）．
参考答案
1．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
在R
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