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解析几何综合题解题方法总结

富源县第一中学

解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维.即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿.而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.

一、判别式

y2 x2 ? ?

案例1 已知双曲线C:

?1，直线l过点A 2,0，斜率为k，当0?k?1时，

2 2

2双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为 ，试求k的值及此时点B的坐标。

2

l: y?k(x? 2) ?0?

l: y?k(x? 2) ?0?k?1?

l:

l: y?kx? 2k2?2? 2k

解得k的值

解题过程略.

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且

2仅有一点B到直线l的距离为 ”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思

2

问题kx

问题

kx?

关于x的方程

2?x2?

k2?1

2k

?

2 0?k?1有唯一解

?

?

转化为一元1二次方程根的问题

求解

PAGE

PAGE5

简解：设点M(x, 2?x2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：

kx?2?x

kx?

2?x2?

k2?1

2k

2? 0?k?1 ?

2

于是，问题即可转化为如上关于x的方程.

2?x2由于0?

2?x2

kx?

?x?kx，从而有

2?x22?x2?

2?x2

2?x2

? 2k.

2(k2?1)于是关于x

2(k2?1)

2?x2?

2?x2

? ?

? 2k?

??? 2?x2

?

2(k2?

2(k2?1)

2?(

? 2k?kx)2,

??? 2(k2?1)? 2k?kx?0

?

? ??? ? ?

? ??

??k2?1x2?2k 2(k2?1)? 2kx?

?

?

2(k2?1)? 2k

2?2?0,

?? 2(k2?1)? 2k?kx?0.

?由0?k?1可知：

?

? ? ? ? ? 2

方程k2?1x2?2k 2(k2?1)? 2kx? 2(k2?1)? 2k ?2?0的二根同正，故

2(k2?1)?2k?kx?0恒成立，于是

2(k2?1)

?

? ? ? ? ? 2

k2?1x2?2k 2(k2?1)? 2kx? 2(k2?1)? 2k ?2?0.

2 5由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式??0，就可解得 k? .

2 5

5

点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

判别式与韦达定理

例2.已知椭圆C:x2?2y2?8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段

AB上取点Q，使AP

??AQ

，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.

PB QB

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。

其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目

AP AQ 4(x ?x )?2x x

条件： ?? 来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到x? A B

A B，

PB QB 8?(x

A

x )

B

要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已

经做到心中有数.

PB

PB

AP??AQ

QB

x?4