1-4-行列式的性质.ppt

例：计算2n阶行列式（P.14例11）分析：当n=1时， 当n=2时，未写出的元素为零zP14例10返回递推公式如果行列式除第一行、第一列、主对角线以外的元素都等于零，则称这种行列式是爪形行列式．或求解思路：化为上、下三角形行列式．爪形行列式例：计算行列式（与P.12例8类似）解法1：这个行列式既是行等和，又是列等和，可仿照前面的方法进行求解．例：计算行列式（与P.12例8类似）解法2：加边法爪形行列式P14例10解法2（续）：把第2、3、4、5行的倍加到第1行，得返回计算4阶行列式思考题思考题解答解：§4行列式的性质行列式的三种等价定义因为数的乘法是可以交换的，所以n个元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交换，元素的行标所成的排列与列标所成的排列都同时作一次对换，即与同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变．于是与同时为奇数或同时为偶数．即是偶数．因为对换改变排列的奇偶性，是奇数，也是奇数.设对换前行标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为．所以是偶数，因此，交换中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变．设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此．所以，在一系列对换之后有返回一、行列式的性质行列式DT称为行列式D的转置行列式．若记D=det(aij)，DT=det(bij)，则bij=aji．记性质1：行列式与它的转置行列式相等，即D=DT．性质1：行列式与它的转置行列式相等．证明：若记D=det(aij)，DT=det(bij)，则根据行列式的定义，有行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立．性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号．例：显然推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明：互换相同的两行，有D=?D，所以D=0．备注：交换第i行（列）和第j行（列），记作，于是记，其中假设1…i…j…n是自然排列，于是行标所成的排列1…j…i…n不是标准次序，是奇排列，列标所成的排列是，于是返回性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式．验证：我们以三阶行列式为例．记根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第i行（列）乘以k，记作推论：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第i行（列）提出公因子k，记作．验证：我们以4阶行列式为例．性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,行列式关于该行（列）可分解为两个行列式．例如：则验证：我们以三阶行列式为例．附注 若n阶行列式每一个元素都表示成两数之和，则它可分解为2n个行列式．性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．则验证：我们以三阶行列式为例．记备注：以数k乘第j行（列）加到第i行（列）上，记作附注（课本P.13）各个运算的次序一般不能颠倒，后一次运算作用在前一次 运算的结果上．注意运算ri+rj与rj+ri的区别，