数列通项公式的十种求法打印了.docVIP

数列通项公式的十种求法

类型1

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1.数列满足，，求。

变式:数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….

〔I〕求a3,a5；〔II〕求{an}的通项公式.

类型2

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:数列满足，，求。

例2:，，求。

变式:〔2004，全国I,理15．〕数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，

那么{an}的通项

类型3〔其中p，q均为常数，〕。

解法〔待定系数法〕：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:数列中，，，求.

变式:〔2006，重庆,文,14〕

在数列中，假设，那么该数列的通项_______________

变式:〔2006.福建.理22.本小题总分值14分〕

数列满足

〔I〕求数列的通项公式；

〔II〕假设数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；

〔Ⅲ〕证明：

类型4〔其中p，q均为常数，〕。〔或,其中p，q,r均为常数〕。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列〔其中〕，得：再待定系数法解决。

例:数列中，,，求。

变式:〔2006，全国I,理22,本小题总分值12分〕

设数列的前项的和，

〔Ⅰ〕求首项与通项；〔Ⅱ〕设，，证明：

类型5递推公式为〔其中p，q均为常数〕。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为

其中s，t满足

解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。假设是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定〔即把和，代入，得到关于A、B的方程组〕；当时，数列的通项为，其中A，B由决定〔即把和，代入，得到关于A、B的方程组〕。

解法一〔待定系数——迭加法〕:

数列：，，求数列的通项公式。

例:数列中，,,，求。

变式:

1.数列满足

〔I〕证明：数列是等比数列；〔II〕求数列的通项公式；

〔III〕假设数列满足证明是等差数列

2.数列中，,,，求

3.数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：数列是等比数列；

⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。

类型6递推公式为与的关系式。(或)

解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。

例：数列前n项和.

〔1〕求与的关系；〔2〕求通项公式.

〔2〕应用类型4〔〔其中p，q均为常数，〕〕的方法，上式两边同乘以得：

由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

变式:〔2006，陕西,理,20本小题总分值12分)

正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

变式:(2005,江西,文,22．本小题总分值14分〕

数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.

类型7

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与递推式比拟，解出,从而转化为是公比为的等比数列。

例:设数列：，求.

变式:〔2006，山东,文,22,本小题总分值14分〕

数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…

(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？假设存在试求出不存在,那么说明理由.

类型8

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。

例：数列｛｝中，，求数列

变式:〔2005，江西,理,21．本小题总分值12分〕

数列

〔1〕证明〔2〕求数列的通项公式an.

变式:〔2006,山东,理,22,本小题总分值14分〕

a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…

证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1

类型9解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

例：数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。

变式:〔2006，江西,理,22,本大题总分值14分〕

1.数列｛an｝满足：a1＝，且an＝

求数列｛an｝的通项公式；

证明：对于一切正整数n，不等式a1?a2?……an?2

2、假设数列的递推公式为，那么求这个数列的通项公式。

3、数列{}满足时，，求通项公式。

4、数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。

5、假设数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．

类型10

解法：如果数列满足