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对刚体脱离支撑面问题的讨论

对刚体脱离支撑面问题的讨论

祝智浩

（温州大学nbsp;物理与电子信息工程学院，浙江温州325000）

nbsp;摘要：本文从一习题出发，通过发散思维改变原型，将其抽象成一物理模型，并利用

这个模型，解决了一系列脱离问题。

关键词：刚体；脱离；模型；发散性思维

Thediscussionaboutaproblemofthefigidbodydetachingthebearingsurface

ZHUZhi-hao

(CollegeofPhysicsandElectronicInformationEngineering,WenZhouUniversity,Wenzhou

325000,China)

Abstract:Inthisarticle,onepraxisiscombinedwithaproblemsofthefigidbodydetachingthe

bearingsurface,andthenwebuildupamodeltosolveit.Itshowsusonceagainthefascinationof

modelanddivergentthinking.

nbsp;KeyWords:detach；model；divergentthinking

nbsp;

nbsp;问题引入

nbsp;在铅直平面内有一光滑的半圆形管道（见图一），半径为，管道内有一长为，质量为

的链条。假设链条由于轻微扰动而从管口向外滑出，试用角动量定理求出链条位于任一角度

时的速度[1]。

nbsp;其解如下，体系的力矩为：

体系的角动量为：，根据角动量定理，求解速度，得

。

模型建立

nbsp;如果不是在管子里，不受到管道外表面对其的压力，这铁链还能依附在上面吗？猜想

该铁链势必在某一位置脱离；于是，建立脱离模型：

nbsp;在一坐标系有一坡面，质量为M的一物体从上滑下（为了简化问题，设物体为无滑

滚动），其质心到接触点0的距离为ρ；如图二，受力分析得：

nbsp;nbsp;nbsp;

nbsp;这类刚体脱离支撑面的题目，一般都由以下几个步骤

进行求解：

受力分析；

分析质心的运动方程；

利用机械能守恒列出方程；

利用脱离条件T=0；

利用无滑滚动条件；

求解方程或方程组得解。

推广应用

nbsp;最简单的情况，当物体可以简化为一质点的时候，如图三，半圆面上有一质点，时质

点静止于光滑半圆面最高点，给予轻微扰动，求质点脱离半圆面的位置。

，令，得，即。

nbsp;当物体不能看做质点而是刚体时，如图四：半径为的匀质小球自半径为的打球顶部由

静止开始受到微小扰动而无滑动地滚下，大球固定不动，试求小球开始脱离大球时的角度

[2]。

nbsp;受力分析，受到重力，支持力和摩擦力三个力；小球在角度处的质心方程：

1，

机械能守恒，有

2，

其中[4]3，

又有脱离条件4，

无滑滚动条件5，

由1、2、3、4、5解得，。

nbsp;比较以上两个例子，可知，当不能忽略小球形状大小时，将小球看做刚体，且摩擦系

数使得其做纯滚动，那么，小球脱离大球的角度要大点。

nbsp;回头解决问题引入中所提出的问题，当链条不受到外管壁压力，即假设链条在半径为

的半圆形支撑面上(如图五)，上有一长为，质量为的链条。假设链条由于轻微扰动而滑动，

试求角度为时的速度。

nbsp;已知当链条没有脱离时，

分析最左边的，那么对最左边的有：

运动方程：，代入，

得；脱离条件，得，即。用作图法求解该超越方程再用mathematica的FindRoot函数求得数

值解，可知，当时，链条开始脱离支撑面。

nbsp;换一个支撑面来看问题，如图六，有一个大球正好静止在桌边上，且球与桌子有摩擦。

若对球轻轻一推，使球滚下桌子，试求球不再接触桌子的瞬间球的速度[3]。

nbsp;球心绕支点转动，故球的重心的运动是圆，其质心运动方程

nbsp;1，机械能守恒，得

nbsp;2，

nbsp;脱离条件3，无滑滚动4，

nbsp;又有[4]5，

nbsp;综合1、2、3、4、5，解得。

nbsp;将球体换成杆，其情况又是如何。如图所示，长为的均匀细杆水平地放置在桌面上，

质心离桌边缘的距离为a，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的动摩擦因数为μ[3]。问

试