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1第八章非线性控制系统概述非线性系统特点数学模型非线性微分方程稳定性与系统的输入信号和初始条件有关系统的零输入响应与系统初始状态有关极限环〔自激振荡〕频率响应跳跃谐振、多值相应、倍频现象、分频震荡、频率捕捉〔跟踪〕现象

2第八章非线性控制系统常用的非线性系统研究方法相平面法描述函数法目前非线性控制系统的综合与设计的主要方法基于李雅普诺夫方法的综合与设计方法变结构控制微分几何控制理论混沌理论及混沌控制

3第八章非线性控制系统典型非线性环节饱和非线性死区非线性

4摩擦非线性〔静摩擦力〕典型非线性环节第八章非线性控制系统间隙非线性

5第八章非线性控制系统继电器型非线性理想继电器具有死区继电器

6第八章非线性控制系统继电器型非线性具有滞环继电器具有死区与滞环继电器

7第八章非线性控制系统相平面法H.Poincare提出的一种用图解法求解一阶、二阶常系数微分方程的方法由于非线性系统状态方程的求解十分困难，运用相平面法，回避直接求解非线性状态方程，利用图解法找出系统状态变化的规律。状态轨迹上的一个点表示状态变量的一组值，即对应于系统的运动状态，所以整条状态轨迹那么形象和全面地描述了整个系统的运动状态。利用相平面法可以明显地看到系统在任何可能的初始条件下的全部解。

8第八章非线性控制系统相平面、相轨迹和相平面图设描述二阶自由系统的常系数微分方程为该系统的时间解可用x(t)和t的关系图表示，也可以用时间t为参变量，然后用的关系图表示。以两个相变量和张成的二维状态空间（状态平面）称为相平面（1）

9第八章非线性控制系统在相平面上，系统的每一个状态相应于该平面上的一个点。当时间t变化时，该点在相平面上描绘出的曲线，即状态的变化轨线，称为相轨迹。在相轨迹上用箭头表示时间增大的方向。如果以各种可能的初始状态为初始点，那么可得到一族相轨迹，这种相轨迹曲线称之为相平面图。

10第八章非线性控制系统相轨迹性质相轨迹的斜率由于即故所以相轨迹的斜率

11第八章非线性控制系统相平面图的奇点〔平衡点〕如果某一状态点，使上述相轨迹的斜率方程为斜率不定有无数条相轨迹在该点相交但凡使上述方程成立的状态点称为奇点，即平衡点或平衡状态

12第八章非线性控制系统相平面图的对称性相轨迹的运动方向在相平面的上半平面，由于即x随时间t的增加而增大，状态点沿相轨迹朝x轴的正方向运动在相平面的下半平面，由于即x随时间t的增加而减少，状态点沿相轨迹朝x轴的负方向运动相轨迹垂直穿过x轴奇点就是多条或无数条相轨迹的起点或终点二阶系统的每一条相轨迹表示系统在给定初始状态下系统运动的动态特性在某些情况下相平面图对称于x轴、轴和原点

13第八章非线性控制系统起点起点终点

14第八章非线性控制系统相平面图的作图方法解析法图解法等倾线法δ法〔圆弧近似法〕

15第八章非线性控制系统相平面图的分析由相平面图求时间解按平均速度求时间信息Δt平均速度时间增量

16第八章非线性控制系统解析法求时间信息因为所以故有

17第八章非线性控制系统奇点与极限环奇点概念如果在某一状态点处，存在那么此系统不存在唯一解，称该状态为奇点。研究奇点的定义及奇点坐标的求法，进一步研究系统在奇点附近的运动规律以及相轨迹的形状，并按奇点附近相轨迹的特征对它进行分类。再引入“特殊的奇点〞奇线和极限环的概念。

18第八章非线性控制系统对一个非线性二阶系统而言，搞清楚系统在奇点附近相轨迹的形状，将有利于估计整个相平面的相轨迹的大致形状，可定性地把握有关二阶系统自由运动规律的全部信息。一般讲来，可把相变量视为位移，则和可理解为速度和加速度，则奇点可理解为系统的速度和加速度均为零，故奇点就是系统的平衡点。在相平面内，凡使系统的两个相变量的导数都为零的状态点，即为平衡点，即对所有的时间t，均有：则对应的状态点称为系统的平衡点或系统的平衡状态

19第八章非线性控制系统平衡点坐标确实定由系统平衡点的定义，知所以二阶系统的平衡点在相平面的纵坐标为故对于二阶系统，令其中的解出的值就是系统平衡点在相平面内的横坐标

20第八章非线性控制系统平衡点的分类非线性系统的线性化模型因为那么系统的平衡点为当是非线性函数时，若它满足线性化的条件，应用泰勒级数，并略去高