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几何最值问题讲义

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几何最值问题（讲义）

解决几何最值问题的通常思路

_______________________，_______________________，__________________是解决几何最值问题的理论依据，___________________________是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

几何最值问题中的基本模型举例

轴对称最值

图形

原理

两点之间线段最短

两点之间线段最短

三角形三边关系

特征

A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值

A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值

A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值

转化

作其中一个定点关于定直线l的对称点

先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点

作其中一个定点关于定直线l的对称点

折叠最值

图形

原理

两点之间线段最短

特征

在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B，连接AB，求AB的最小值．

转化

转化成求AB+BN+NC的最小值

如图，直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．

（1）当点P落在线段CD上时，PD的取值范围为；

（2）当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值为_____________．

如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运动时，点A随之在OM上运动，且矩形ABCD的形状和大小保持不变．若AB=2，BC=1，则运动过程中点D到点O的最大距离为（）

A． B． C． D．

如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，那么DE长的最小值是．

如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．

已知等边△ABC的边长为6，l为过A点的一条直线，B，C两点到l的距离分别为d1，d2，当l绕点A任意旋转时，d1+d2的最大值为（）

A．B．12C．

D．其最大值与l旋转的角度有关，故不能确定

如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过点B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别是B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．

【参考答案】

知识点睛

两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，根据不变特征进行转化

精讲精练

1．6

2．

3．5

4．2

5．（1）

（2）

6．A

7．1

8．

9．C

10．2；