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几何图形中函数解析式的求法(学法指导)

几何图形中函数解析式的求法

函数是初中数学的重要内容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。

但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。

用图形的面积公式确立等量关系

BCADP图1例1、如图1，正方形ABCD的边长为，有一点P在BC上运动，设PB=

B

C

A

D

P

图1

（1）求与的函数关系式；

（2）如果S△ABP=S体型APCD请确定P的位置。

分析：本题所给的变量是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式

即，得BF=

∴EG=FC=

∴

∴所求的函数关系式是（02）

(2)、（3）略

由直角三角形，利用勾股定理确立等量关系

A

A

B

C

D

O

E

F

图3

例3、如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，D为BC边上一动点，AD的垂直平分线EF交B、AD、C于E、O、F，AB=2。

（1）BD=，AE=，求关于的函数关系式；

（2）是否存在使四边形AEDF为菱形？若存在，则说明理由。

分析：本题所给图形中直角三角形较多，将两个变量x，y之间的关系集中到同一直角三角形中问题可获得解决。因为BD=x，AE=y，AB=2，所以BE=2-y，又根据线段中垂线的性质知DE=AE=y。于是，在RtΔBDE中，由勾股定理建立两个变量之间的等式。

???解：（1）∵EF是线段AD的中垂线，

???∴AE=DE=

???BD=，BE=，在RtΔBDE中，

???BD2+BE2=DE2，

???即

???整理得

在RtΔABC中，∠B=90°，∠BAC=30°，AB=2，

???∴BC=，∴0。

???于是(0)为所求的函数解析式。(2)略

用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系

O

O‘

O

B

C

D

E

A

图4

·

·

T

例4、如图4，在ΔABC中，AB=8，AC=6，⊙O是ΔABC的外接圆，且BC是直径，⊙O与⊙O’内切于点A，与边AB、AC分别交于点D、E。设BD=，DE=。

（1）求关于的函数解析式，并指出自变量的取值

范围；

（2）求当⊙O’与BC相切时的值。

分析：AB=8，BD=，AD=，如果能求得BC的长，知道DE∥BC，则问题便迎刃而解。显然，这两个问题可分别通过直径所对的圆周角的性质、弦切角定理获得解决。

????解：（1）如图4，过点A作⊙O和⊙O’的公切线AT，则有

???∠BAT=∠DEA=∠BCA。

???∴DE∥BC，∴。

???∵BC是直径，∴∠BAC=90°，

???∴BC=。

???∴，

∴与的函数关系式是:（08）。

???（2）略

四、用相似三角形，对应边成比例的比例式确立等量关系

ABCDPQ图5例5、已知：矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm

A

B

C

D

P

Q

图5

（1）设BP的长为，CQ的长为，求出与之间的函数关系式；

（2）试讨论当P在什么位置时，CQ的值最大。

分析：本题中∠APQ=90°，若连结AQ，问题可以转化为上述提到的“用直角三角形，利用勾股定理确立等量关系”，但计算过程中会比较复杂且运算量较大，容易算错。但仔细观察可以发现，由于BP=，CQ=，其中两个变量都分别在不同的三角形中，要把它们建立起等量关系，则可考虑证△ABP∽△PCQ，由相似三角形对应边成比例可得：。从而问题可获解决，相比之下比第一种方法要简单。

ABCE

A

B

C

E

F

图6

∠EAF=120°。设BE=，CF=，求出与之间的函数关系式。

分析:本题中的BE=，CF=，其中两个变量都分别在不同的三角形中，要把它们建立起等量关系，则可证

△ABE∽△FCA，由相似三角形对应边成比例可得：。从而问题可获解决。

·OEDABCGF图7例7、已知:△ABC是正三角形,⊙

·

O

E

D

A

B

C

G

F

图7

（1）当点G在BC上运动时，求与的函数关系式；

（2）求自变量的取值范围；

（3）求EF的最大值。

分析：其中