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微专题：构造函数法解选填压轴题

高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

几种导数的常见构造：

1．对于，构造

假设遇到，那么可构

2．对于，构造

3．对于，构造

4．对于[或]，构造

5．对于，构造

6．对于，构造

一、构造函数法比拟大小

例1．函数的图象关于y轴对称,且当成立，，，,那么的大小关系是()

【解析】因为函数关于轴对称,所以函数为奇函数.因为,

所以当时,,函数单调递减,

当时,函数单调递减.

因为,,,所以,所以,选D.

变式:定义域为的奇函数的导函数为，当时，，

假设，那么以下关于的大小关系正确的选项是〔D〕

例2．为上的可导函数，且，均有，那么有

A．，B．，

C．，D．，

【解析】构造函数那么，

因为均有并且，所以，故函数在R上单调递减，

所以，即

也就是，应选D．

变式:函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，那么〔C〕

例3．在数列中，．那么数列中的最大项为()．

A．B．C．D．不存在

【解析】由，，，

易得.猜测当时，是递减数列

又由知，令，

那么

当时，，那么，即

在内为单调递减函数，

时，是递减数列，即是递减数列

又，数列中的最大项为应选B．

练习1．函数对任意的满足,那么〔〕A．B.C.D.

提示：构造函数，选D．

二、构造函数法解恒成立问题

例1．假设函数y=在R上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，假设，那么必有〔〕

A．B．C．D．

【解析】由∴构造函数，

那么，从而在R上为增函数。

∴即，应选C。

例2．是定义在〔0，+∞〕上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数、，假设，那么必有〔〕

A．B．C．D．

【解析】，，故在〔0，+∞〕上是减函数，

由，有，即。应选A。

变式1.设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，那么当时，有〔C〕

变式2.设函数时，有〔C〕

A． B．

C．D．

例3．设函数在R上的导函数为，且，下面不等式恒成立的是〔〕

A．B．C．D．

【解析】由，首先令得，排除B，D．

令，那么，

①当时，有，

所以函数单调递增，所以当时，，从而．

②当时，有，

所以函数单调递减，所以当时，，从而．

综上．应选A．

例4．如果，那么下面的不等式恒成立的是〔〕

A．B．C．D．

【解析】构造函数，易证在R上是奇函数且单调递增

+

==lg1=0

即：

又是增函数即。应选B．

练习1.，那么实数的关系是〔D〕

A.B.C.D.

【解析】构造函数，是增函数，又，，应选D．

练习2.函数是R上的可导函数，当时，有,那么函数的零点个数是(B)

A.0B.1C.2D.3

【解析】由，得，构造函数，

那么，∵当时，有,∴当时，

即当时，，此时函数单调递增，此时，

当时，，此时函数单调递减，此时，

作出函数和函数的图象，〔直线只代表单调性和取值范围〕，由图象可知函数的零点个数为1个．应选B．

三、构造函数法解不等式

例1.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，，那么f(x)＞2x＋4的解集为()

A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)

【解析】构造函数G(x)＝f(x)－2x－4，所以，由于对任意x∈R，，

所以0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，

又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－40，

即f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞)，应选B.