人教版三年级数学上册单元易错真题汇编 专题10 数学广角—集合（知识讲练）教师版.docxVIP

人教版数学三年级上册易错题专题易错知识汇总+百分练

知识点01：容斥原理

1.解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出示意图，借助示意图进行思考。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。

2.在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．

一般方法：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．

容斥原理1：两量重叠问题

A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数

用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．

容斥原理2：三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．

用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C

解决重叠问题时，一定要减去重复的部分。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）（2015春?红河县校级期末）学校开设两个兴趣小组，三（1）27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有3人，那么三（1）一共有（）人参加了书画和棋艺小组．

A．51 B．54 C．48

【思路点拨】三（1）27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，则两个小组共有27+24人，又两个小组都参加的有3人，根据容斥原理可知，那么三（1）一共有27+24﹣3人人参加了书画和棋艺小组．

【规范解答】解：27+24﹣3

＝51﹣3，

＝48（人）．

答：那么三（1）一共有48人参加了书画和棋艺小组．

故选：C．

【考点评析】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．

2．（2分）（2010秋?临澧县期末）三（1）班有17人参加数学兴趣小组，13人参加英语兴趣小组，两个兴趣小组都参加了的有5人，三（1）班共有（）人参加了这两个兴趣小组．

A．35 B．25 C．30

【思路点拨】根据题意，两个兴趣小组都参加了的5人在17人和13人里面重复数了2次，所以将参加数学小组的人数加上参加英语小组的人数再减去5人，列式解答即可得到答案．

【规范解答】解：17+13﹣5，

＝30﹣5，

＝25（人）．

答：三（1）班共有25人人参加了这两个兴趣小组．

故选：B．

【考点评析】解决本题的关键是将两个兴趣小组都参加了的有5人重复相加了，再减去重复的5人即可．

3．（2分）雅乐学校五年级一班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中参加了数学和英语两科的有12人，参加了语文和英语的有14人，参加了数学和语文两科的有10人，那么五年级一班至少有多少人（）

A．45 B．47 C．55 D．57

【思路点拨】22位学生参加语文，既参加英语又参加语文14人，既参加数学又参加语文的有10人，”由此可得三门课程都参加的有14+10﹣22＝2人，那么只参加英语和数学有12﹣2＝10人；只参加英语和语文14﹣2＝12人；只参加数学和语文的有10﹣2＝8人，由此可以画图分析，从参加数学32人，参加语文的22人，参加英语的27人的总人数中，减去重复部分的同时参加两门或三门的人数即可得出这个班的总人数．

【规范解答】解：（32+22+27）﹣（10+8+12）﹣2×2，

＝81﹣30﹣4，

＝47（人），

答：这个班至少有47人．

故选：B．

【考点评析】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键是根据“参加语文的人数”和“既参加英语又参加语文，既参加数学又参加语文的人数”得出同时参加3门课程的人数是2人，从而画图分析，使计算过程简洁明了．

4．（2分）（2009春?湖里区校级期末）学校开设两个兴趣小组，三（1）班50人都报名参加了活动，其中27人参加书画小组，32人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（）

A．7人 B．8人 C．9人 D．10人

【思路点拨】因为50人都报名参加了活动，包括三部分的人数：只参加书画小组的，只参加棋艺小组的，两个小组都参加的；又因为27人和32人都包含两个小组都参加的人数；所以根据容斥原理列