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与球有关的切、接问题

球的表面积公式：S＝4π2

4

πR3

R；球的体积公式V＝3

与球有关的切、接问题中常见的组合：

正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为

正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE

2 3

＝ a，CE＝ a，则有R＋r＝

3 3

正方体与球：

2 a2 6 6

3 3 4 12a，R2－r2＝|CE|2＝ ，解得R＝ a，r＝ a.

3 3 4 12

①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所

a

示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝2(r为内切球半径)．

②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，

则|GO|＝R＝2.

2a

③正方体的外接球：截面图为正方形ACCA的外接圆，则|AO|＝R′＝3.

a

11 1 2

三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：

①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方

体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A-ABD

1 1 1

的外接球的球心和正方体ABCD-ABCD的外接球的球心重合．如图，设

11 1 1

AA＝a，则R＝3a.

1 2

②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外

a2＋b2＋c2 l2

接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝ 4 ＝4(l为长方体的体对角线长)．

角度一：正四面体的内切球

S

1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S，其内切球的表面积为S，则1＝

1 2 S

2

.

解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S

＝4·

3a2＝ 3a2，其内切球半径

·1 4

·

1 1 6 6 πa2 S 3a2

为正四面体高的，即r＝· a＝ a，因此内切球表面积为S

＝4πr2＝ ，则1＝ ＝

4 4 3 12

.6 3

.

π

角度二：直三棱柱的外接球

2 6 S π

2 a2

6

2．(2015·唐山统考)如图，直三棱柱ABC-ABC的六个顶点都在半径

11 1

为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCCB是半球底面圆的内接正方形，则

11

侧面ABBA的面积为( )

11

2A．2 B．1 C.

2

D. 2

211解析：选C 由题意知，球心在侧面BCCB的中心O上，BC

2

11

圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△ABC

11 1

的外心M是BC的中心．设正方形BCCB的边长为x，Rt△OMC中，

1 1 11 1

OM＝x，MC＝x，OC

＝R＝1(R为球的半径)，∴?x?2＋?x?2＝1，即x＝

2 1 2 1

?2? ?2?

112，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABBA＝ 2×1＝ 2.

11

角度三：正方体的外接球

一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2的正方形)，则该几何体外接球的体积为

．

解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是

πR正方体的体对角线；∴2R＝2 3(R为球的半径)，∴R＝ 3，∴球的体积V＝4

πR

3

3＝4 3π.

答案：4 3π

角度四：四棱锥的外接球

4．(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

81π 27π

A.4 B．16π C．9π D.4

解析：选A 如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝ 2.

∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝( 2)2＋(4－R)2，解得R

＝9，∴该球的表面积为4πR2＝4π×?9?2＝81π，故选A.

4 ?4? 4

[类题通法]

“切”“接”问题的处理规律

“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．

“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

[牛刀小试]

1．