2020版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示讲义.docx

第一节 数列的概念与简单表示

突破点一 数列的通项公式

[基本知识]

数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．

数列的通项公式

如果数列{a}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做

n

这个数列的通项公式．

数列的递推公式

如果已知数列{a}的第1项(或前几项)，且任何一项a与它的前一项a

(或前几项)间

n n

的关系可以用一个式子来表示，即a＝f(a )(或a＝f(a ，a

n－1

)等)，那么这个式子叫做

数列{a}的递推公式．

n

n n－1

n n－1

n－2

4．S

n

与a的关系

n

??S，n＝1，

已知数列{a}的前n项和为S，则a＝?1

这个关系式对任意数列均成

n n n ??S－S

，n≥2，

n n－1

立．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

所有数列的第n项都能使用公式表达．( )

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )

若已知数列{a}的递推公式为a ＝

1 ，且a＝1，则可以写出数列{a}的任何

n

一项．( )

n＋1

2a－1 2 n

n

如果数列{a}的前n项和为S，则对 n∈N*，都有a ＝S －S.( )

n n n＋1 n＋1 n

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×

二、填空题

数列{a}中，a＝2，且a

1

＝a－1，则a

的值为 ．

n 1 n＋1 2n 5

解析：由a＝2，a

＝1a－1，得a

＝1a－1＝1－1＝0，a＝1a－1＝0－1＝－1，a

1 n＋1 2n

2 21

3 22 4

1 1 3 1 3 7

＝a－1＝－－1＝－，a＝a－1＝－－1＝－.

23 2 2 5 24 4 4

7

答案：－

4

?? n

?

若a1＋a2，n为偶数，

若a

数列{a}定义如下：a＝1，当n≥2时，a＝ ＝，

n 1 n ?1，n为奇数， n 4

则n的值为 ．

＝1＋＝2，解析：困为a＝1，所以a a

＝1＋

＝2，

a 1 1

a

n－1

＝ ＝，＝1＋＝3，a a

＝ ＝，

＝1＋

＝3，

a 1 1 a

＝ ＝，＝1＋a

＝ ＝，

＝1＋

1

1 2 a

2 1

a a 1 1

3 a 2 4 2

2

n

5 a 3 6

4

＝， ＝ ＝，

＝1＋

＝4， ＝ ＝，所以

＝9.

3 2 7 a 3 8

6

4 9 a 4

8

答案：9

数列{a}的通项公式a＝

1

，则 10－3是此数列的第 项．

n

解析：a＝ 1

n n＋ n＋1

n＋1－

n＋1－ n

n＋1＋ n n＋1－ n

＝ n＋1－ n，

n n＋1＋ n

∵ 10－3＝ 10－ 9，∴ 10－3是该数列的第9项．答案：9

已知S是数列{a}的前n项和，且S＝n2＋1，则数列{a}的通项公式是 ．

n n n n

a ??2，n＝1，

答案： ＝?

n ??2n－1，n≥2

考法一 利用a与S

n n

的关系求通项

[全析考法]

??S，n＝1，

数列{a}的前n项和S与通项a

的关系为a＝?1

通过纽带：a＝S

n n n

n ??S－S ，n≥2， n n

n n－1

－S (n≥2)，根据题目已知条件，消掉a或S，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造

n－1 n n

成等差数列或者等比数列求解．

[例1] (1)(2019·化州模拟)已知S为数列{a}的前n项和，且log(S＋1)＝n＋1，

n n 2 n

则数列{a}的通项公式为 ．

n

(2)(2019·广州测试)已知数列{a}的各项均为正数，S为其前n项和，且对任意n∈N*，

n n

均有a，S，a2成等差数列，则a＝ .

n n n n

[解析] (1)由log(S＋1)＝n＋1，得S＋1＝2n＋1，

2 n n

当n＝1时，a＝S＝3；当n≥2时，a＝S－S ＝2n，

1 1 n n n－1

所以数列{a

}的通项公式为a

??3，n＝1，

＝?

n n ??2n，n≥2.

(2)∵a，S，a2成等差数列，∴2S＝a＋a2.

n n n n n n

当n＝1时，2S＝2a＝a＋a2.

1 1 1 1

又a0，∴a＝1.

1 1