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复数

基础知识

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1．复数的定义：设i为方程x=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除

等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通

常用C来表示。

2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).

z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那

么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合

之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，

y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又

对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外

设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsin

θ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z

的辐角。若0≤θ2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z).r称为z的模，也记作|z|，

a2b2iθiθ

由勾股定理知|z|=.如果用e表示cosθ+isinθ，则z=re，称为复数的指数形

式。

3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则za-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：



zz

2

（1）zzzz；（2）zzzz；（3）zz|z|；（4）11；（5）

12121212

zz



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z|z|

|zz||z||z|；（6）|1|1；（7）||z|-|z||≤|z±z|≤|z|+|z|；（8）

1212z|z|121212

22

1

2222z

|z+z|+|z-z|=2|z|+2|z|；（9）若|z|=1，则