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大学物理简明教程习题解答

习题一

1-1｜｜与有无不同?和有无不同?和有无不同?其不同在哪里?试举例说明．

解：〔1〕是位移的模，是位矢的模的增量，即，；

〔2〕是速度的模，即.

只是速度在径向上的分量.

∵有〔式中叫做单位矢〕，那么

式中就是速度径向上的分量，

∴不同如题1-1图所示.

题1-1图

(3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.

∵有表轨道节线方向单位矢〕，所以

式中就是加速度的切向分量.

(的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)

1-2设质点的运动方程为=()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，然后根据=，及＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

=及=

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差异何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有，

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一局部。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向〔即量值〕方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的奉献。

1-3一质点在平面上运动，运动方程为

=3+5,=2+3-4.

式中以s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1s时刻和＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0s时刻到＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4s时质点的速度；(5)计算＝0s到＝4s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：〔1〕

(2)将,代入上式即有

(3)∵

∴

(4)

那么

(5)∵

(6)

这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。

1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以(m·)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解：设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知

将上式对时间求导，得

题1-4图

根据速度的定义，并注意到,是随减少的，

∴

即

或

将再对求导，即得船的加速度

1-5质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为＝2+6，的单位为，的单位为m.质点在＝0处，速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值．

解：∵

别离变量：

两边积分得

由题知，时，,∴

∴

1-6一质点作直线运动，其加速度为＝4+3，开始运动时，＝5m，=0，求该质点在＝10s时的速度和位置．

解：∵

别离变量，得

积分，得

由题知，,,∴

故

又因为

别离变量，

积分得

由题知,,∴

故

所以时

1-7一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为=2+3，式中以弧度计，以秒计，求：(1)＝2s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解：

(1)时，

(2)当加速度方向与半径成角时，有

即亦即

那么解得于是角位移为

1-8质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2)为何值时，加速度在数值上等于．

解：〔1〕

那么

加速度与半径的夹角为

(2)由题意应有

即

∴当时，

1-9以初速度＝20抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径；(2)落地处的曲率半径．

(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-9图

(1)在最高点，

又∵

∴

(2)在落地点，

,

而

∴

1-10飞轮半径为0.4m，自静止启动，其角加速度为β=0.2rad·，求＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

解：当时，

那么

1-11一船以速率＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

解：(1)大船看小艇，那么有，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

题1-11图

由图可知

方向北偏西

(2)小船看大船，那么有，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

方向南偏东

习题二

2-1一个质量为的质点，在光滑的固定斜面〔倾角为〕上以初速度运动，的方向与斜面底边的水