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(完整word)二次根式学案

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暑假第一讲二次根式

知识点1二次根式的概念

概念：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，””称为二次根号．

正确理解二次根式的概念,要把握以下五点：

（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号””,的根指数为2,即””，我们一般省略根指数2，写作””。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子表示非负数a的算术平方根，因此，。其中是有意义的前提条件。

(4）在具体问题中，如果已知二次根式,就意味着给出了这一隐含条件.

（5)形如（）的式子也是二次根式，与是相乘的关系，要注意当是分数时不能写成带分数。

二次根式要注意形式是否符合以及被开方数的正负．

［典例1］下列各式是二次根式的是_________（填序号）．

①②③④⑤⑥⑦

思路点拨：要注意是否有二次根号存在以及被开方数是否是正数

[典例2]求下列二次根式中字母的取值范围

思路点拨：要使二次根式有意义，被开方数要大于等于0，同时注意分母不等于0．

知识点2二次根式的性质

(1）一个非负数的算术平方根是非负数．

(2)．一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．

(3)．一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值．

(1）化简二次根式要严格按照，进行求解,掌握二者的异同点是正确化简二次根式的关键．

(2）注意二次根式的非负性，同样具有非负性的式子有①②③．若多个非负性的式子的和等于0，则这几个非负数分别等于0

［典例3]计算:(1）（2)（3）（4）

（6）．

思路点拨：，要注意根号和平方的先后顺序．

[典例4］已知,求的值。

思路点拨:进行配方找出非负数解决问题．

[典例5］如果,那么（)

ABCD

思路点拨：看结果与被开方数的正负关系来得知被开方数是正数还是负数．

[典例6］已知,则的值为（）

A—15B15CD

思路点拨：注意被开方数的取值范围．

[典例7]若是正整数，则的最大整数值是_______。

若是正整数，则的最小整数值是_______.

思路点拨:1．可用举例法，可能是1,4,9，然后考虑符合要求的答案.

1．把被开方数的数字因式分解成一个最大完全平方数和某数字积的形式

知识点3二次根式的乘除

1．单项式与单项式相乘：把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同他的指数作为积的一个因式．一般地

2．单项式与单项式相除：把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数作为商的一个因式．一般地

3．最简二次根式的概念：⑴被开方数不含分母．

⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或整式．

[典例8]计算⑴⑵⑶⑷

思路点拨：利用计算，注意可以使用乘法交换律和结合律简化运算．

［典例9]化简⑴⑵⑶

思路点拨：逆向利用计算，将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外．

[典例10］计算⑴⑵⑶⑷

思路点拨：利用计算，注意可以使用乘法交换律和结合律简化运算．

［典例11]把下列二次根式化简为最简二次根式⑴⑵⑶⑷

思路点拨：先将被开方数中的小数或者带分数化为假分数，再将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方，最后分母有理化

［典例12]比较大小⑴与⑵与

思路点拨：比较大小，可先将其都转化为或比较大小

[典例13］化简

思路点拨：结合先前所学知识，记得要判断正负

知识点4二次根式的加减

1．二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式化成嘴贱二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

2．二次根式的混合运算:和整式混合运算顺序一样,先乘方,再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．

二次根式与整式运算存在共通点，计算可参照整式运算的法则进行化简．

[典例14]计算⑴⑵

思路点拨：先化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

［典例15]已知，，求

思路点拨：先化简条件为最简二次根式，再求值．

［典例16］已知,，求⑴⑵

思路点拨：x，y既然不能再化简且带入求值比较繁琐，根据x,y的特点及所问问题将所求代数式变形为含有，,的式子再入求值会简便很多．

［典例17]如图，数轴上A,B两点表示的数分别为1和,点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是

A． B． C． D．

思路点拨：有数轴的题目要找出数轴上对应线段所代表的长