随机过程的定义.docxVIP

例 1． (随机徘徊) 无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子从初始位置 0 点出发，在直线上分别向右或向左走一步。问：抛掷了 n 次后，粒子恰走到m 的概率。 事实上，由于粒子是从初始位置0 点出发的，因此，当 n＜|m|时，粒子是不可能走到m 的，而“抛掷了n 次后，粒子恰走到m”意味着：在n 次走动中，恰好向左走了 n ? m 步； 2 n n ? m n 而向右走了 步．此即n 次抛掷中恰有 2 2 n ? m 次掷得正面；有 次掷得反面．因 2 此，这就需要 m 与n 同为奇偶数。所求概率为 C n ? m 2 1 (当n≥|m|且m 与n 同为奇偶数时)， n 2 n 否则概率为 0。 综上所述，研究一个随机试验，就是要有一个三元组：(Ω ，F，P)，它称为概率空间， 其中Ω 是全体可能结果组成的集合；F 是全体可观测事件(可以合理地给出概率的事件)组成的事件族；而 P 应该看成一个整体，而不是单个概率值，即P 是 F 上定义的一个取值于[0， 1]区间的函数。同时，加法公理应该满足，而且必然事件的概率应该为 1。 随机过程的定义：研究对象是随时间演变的随机现象。 例 1．随机相位正弦波 X(t)=Acos(ωt +Θ )，t∈(－∞，+∞)；Θ ～U (0，2π ) 图 1 例 2．以 X(t)表示电话交换台在时间间隔[0，t]内接到的呼叫的次数，X ? ?X ( t ), t ? 0? 是一随机过程。 例 3．独立地连续掷一骰子，设 X n 为第 n 次独立地掷一骰子所出现的点数，则 ｛ X , n ? 1 ｝为一相互独立同分布的随机序列(过程)，其指标集为 T＝｛1，2，3，?｝； n 状态空间为 S＝｛1，2，3，4，5，6｝；如果把序列｛3，2，3，4，6，5，l，3，?｝称为X n 的一条轨道，它表示第 1，3，8 次掷得“3”点，第 2 次掷得“2”点，第4 次掷得“4”点， 第 5 次掷得“6”点，?．且此时 X 有均值为 E X n ＝3.5，方差为 D( X n )＝17.5，n＝1，2，?， n 协方差为 Cov( X i ， X j )＝0，i≠j． 定义 1 设(Ω ，F，P)是一个概率空间，一族随机变量 X ? ?X ( t ), t ? T ?称为一个随机过程， 其中 T 称为指标集，对 T 中的每个 t，X(t)是一个随机变量 X(t，ω)，对每个固定的ω ， ?X ( t , ? ) : t ? T ?是一个定义在 T 上，和 X(t)有同样取值范围的实值函数，称之为随机过程 X 的一条(样本)轨道． 对所有固定的 t，X(t)的全体可能的取值，称为 X 的状态空间，对离散随机变量的随机过程，状态空间都可认为是正整数集，因为任何可数集与一正整数集是一一对应的．把全体状态编号，以其编号代表状态就行了。 我们常常把 t 解释为时间．一般来说，T 是一个无限集合，如果它是可数集合，如 T＝ ｛0，1，2，?｝，此时称 X 为离散参数的随机过程，或随机序列，当 T＝[0，+∞)或(－∞， +∞)则称 X 为连续参数的随机过程。 X 的全体有限维联合分布族称为 X 的概率分布。 例 4．在上例中，如果根据每次掷得的点数决定一个粒子在平面格点上作如下运动：如果掷得 l，2，3，4 点，则分别向上、下、左、右移动1 步，如果掷得“5”或“6”，点，则不动。如果粒子从原点(0，0)出发，记在第 n 步粒子所在位置为(X(n)，y(n))，则我们就得到两个随机过程｛X(n)；n＝0，l，?｝以及｛Y(n)；n＝0，l，?｝．这个随机模型称为 2-维随机徘徊。 例 5 无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子在直线上分别向右或向左走一步。如果我们要研究，这样走下去，最终随机运动的趋向等问题，就需要将无穷多步粒子各自所在的位置作为一个整体来考虑，找出它取值的统计规律。为此，我们先要考虑无限制地抛掷硬币所得结果这一随机序列，因为它完全决定了粒子的走法。 假设每次抛掷得到正面的概率是 p，这个试验的全部可能的结果组成的集合是 ? ? ?? ? ?? ? ?? , ? , , ? , ?: ? ? 0 ,1; n ? ? ? ? 1 2 n n (其中“1”表示正面，“0”表示反面)。 于是，我们就有了概率空间(Ω ，F，P)．若将第n 步粒子所在的位置记为 S ，那么，在 n ?这里我们就需要研究一连串随机变量之间的动态关系，即同时研究 ?S : n ? 1,2 ?这无穷 ? n 个随机变量作为整体时，它取值的统计规律。令 X (? ) ? ? n n ? 1, ?? ? ? 0, 若第 n 次抛掷出现正面其它情形 由