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中考数学复习相似专项易错题及答案 一、相似 1．如图，在等腰Rt△ABC 中，O 为斜边AC 的中点，连接BO，以AB 为斜边向三角内部作 Rt△ABE ，且∠AEB=90° ，连接EO．求证： （1）∠OAE=∠OBE ； （2 ）AE=BE+ OE ． 【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC 中，O 为斜边AC 的中点， ∴OB ⊥AC ， ∴∠AOB=90° ， ∵∠AEB=90° ， ∴A ，B，E，O 四点共圆， ∴∠OAE=∠OBE （2 ）证明：在AE 上截取EF=BE， 则△ EFB 是等腰直角三角形， ∴ ，∠ FBE=45°， ∵在等腰Rt△ABC 中，O 为斜边AC 的中点， ∴∠ABO=45° ， ∴∠ABF=∠OBE， ∵ ， ∴ ， ∴△ABF ∽△ BOE， ∴ = ， ∴AF= OE ， ∵AE=AF+EF ， ∴AE=BE+ OE ． 【解析】【分析】（1 ）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90° ，可得出 A ，B，E，O 四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。 （2 ）在AE 上截取 EF=BE，易证△ EFB 是等腰直角三角形，可得出 BF 与 BE 的比值为 ， 再证明∠ABF=∠OBE，AB 与 BO 的比值为 ，就可证得 AB 、BO、BF、BE 四条线段成比 例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF ∽△ BOE，可证 得AF= OE，由AE=AF+EF ，可证得结论。 2 2 ．已知二次函数y ＝ax ＋bx－2 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点 C，点A 的 坐标为(4，0)，且当x ＝－2 和x ＝5 时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a，b 的值； （2 ）如图①，动点E，F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2 个单位长度的速度沿AB 边 向终点 B 运动，点 F 以每秒 个单位长度的速度沿射线 AC 方向运动．当点 E 停止运动 时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点 D 处，得到△ DEF. ①是否存在某一时刻 t ，使得△ DCF 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请 说明理 由； ②设△ DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S，求S 关于t 的函数关系式． 【答案 】 （1）解：由题意得： ，解得：a= ，b= （2 ）解：① 由（1 ）知二次函数为 .∵A （4 ，0 ），∴B （﹣1，0 ），C （0，﹣2 ）， ∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5 ，AC= ，BC= ，∴AC2 2 2 +BC =25=AB ， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB=90° ． ∵AE=2t ，AF= t ，∴ . 又∵∠EAF=∠CAB， ∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF=∠ACB=90° ， ∴△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处； 由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t ，EF= AE=t ． 假设△ DCF 为直角三角形，当点F 在线段AC 上时： ⅰ）若C 为直角顶点，则点D 与点B 重合，如图2， ∴AE= AB= t= ÷2= ； ⅱ）若D 为直角顶点，如图3 ． ∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠ EDF=90°． ∵∠ EDF=∠ EAF，∴∠OBC+∠ EAF=90°， ∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC． ∵OC ⊥BD， ∴OD=OB=1， ∴AD=3 ， ∴AE= ， ∴t= ； 当点F 在AC 延长线上时，∠ DFC＞90°，△ DCF 为钝角三角形． 综上所述，存在时刻t ，使得△ DCF