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Maple笔记2--常微分⽅程求解 转需看 原⽂地址 ： 作者 ： 来源 ：⽹络论坛转载 （VB资料库 常微分⽅程求解 微分⽅程求解是数学研究与应⽤的⼀个重点和难点. Maple能够显式或隐式地解析地求解许多微分⽅程求解. 在常微分⽅程求解器dsolve中使⽤了⼀ 些传统的技术例如laplace变换和积分因⼦法等, 函数pdesolve则使⽤诸如特征根法等经典⽅法求解偏微分⽅程. 此外, Maple还提供了可作摄动解的 所有⼯具, 例如Poincare-Lindstedt法和⾼阶多重尺度法. 帮助处理常微分⽅程(组)的各类函数存于Detools软件包中, 函数种类主要有 ：可视化类的函数, 处理宠加莱动态系统的函数, 调整微分⽅程的函数, 处理积分因⼦、李对称法和常微分⽅程分类的函数, 微分算⼦的函数, 利⽤可积性与微分消去的⽅法简化微分⽅程的函数, 以及构造封闭解的函数 等. 更重要的是其提供的强⼤的图形绘制命令Deplot能够帮助我们解决⼀些较为复杂的问题. 2.1 常微分⽅程的解析解 求解常微分⽅程最简单的⽅法是利⽤求解函数dsolve. 命令格式为 ： dsolve(ODE); dsolve(ODE, y( ), e tra_args); dsolve({ODE, ICs}, y( ), e tra_args); dsolve({sysODE, ICs}, {funcs}, e tra_args); 其中, ODE— 常微分⽅程, y( )—单变量的任意变量函数, Ics—初始条件, {sysODE}—ODE⽅程组的集合, {funcs}—变量函数的集合, e tra_args—依 赖于要求解的问题类型. 例如, 对于⼀阶常微分⽅程 可⽤dsolve直接求得解析解 ： ODE:= *diff(y( ), )=y( )*ln( *y( ))-y( ); dsolve(ODE,y( )); 可以看出, dsolve的第⼀个参数是待求的微分⽅程, 第⼆个参数是未知函数. 需要注意的是, ⽆论在⽅程中还是作为第⼆个参数, 未知函数必须⽤函数 的形式给出(即：必须加括号, 并在其中明确 ⾃变量), 这⼀规定是必须的, 否则Maple将⽆法区分⽅程中的函数、⾃变量和参变量, 这⼀点和我们平时 的书写习惯不⼀致. 为了使其与我们的习惯⼀致, 可⽤alias将函数⽤别称表⽰ ： alias(y=y( )); ODE:= *diff(y, )=y*ln( *y)-y ; dsolve(ODE,y); 函数dsolve给出的是微分⽅程的通解, 其中的任意常数是⽤下划线起始的内部变量表⽰的. 在Maple中, 微分⽅程的解是很容易验证的, 只需要将解代⼊到原⽅程并化简就可以了. subs(%,ODE); assume( ,real): assume(_C1,real): simplify(%); evalb(%); evalb函数的⽬的是对⼀个包含关系型运算符的表达式使⽤三值逻辑系统求值, 返回的值是true, false和FA IL. 如果⽆法求值, 则返回⼀个未求值的表 达式. 通常包含关系型运算符“=, , , =, , =”的表达式在Maple中看作是代数⽅程或者不等式. 然⽽, 作为参数传递给evalb或者出现在if或w hile 语句的逻辑表达式中时, 它们会被求值为true或false. 值得注意的是, evalb不化简表达式, 因此在使⽤evalb之前应将表达式化简, 否则可能会出错. 再看下⾯常微分⽅程的求解 ： alias(y=y( )): ODE:=diff(y, )=sqrt(y^2+1); dsolve(ODE,y); 函数dsolve对于求解含有未知参变量的常微分⽅程也完全可以胜任: alias(y=y( )): ODE:=diff(y, )=-y/sqrt(a^2-y^2); sol:=dsolve(ODE,y); 由此可见, 对于不能表⽰成显式结果的微分⽅程解, Maple尽可能将结果表⽰成隐式解. 另外, 对于平凡解y=0常常忽略, 这⼀点应该引起注意. dsolve对于求解微分⽅程初值问题也⼗分⽅便的: ODE:=diff(u(t),t$2)+omega^2*u(t)=0; dsolve({ODE,u(0)=u0,D(u)(0)=v0},u