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二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次 根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 （ ， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念 和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例 进行分类解析． 公式法 【例1】计算① ； ② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便． 观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观 察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以 ，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式 ． 【例3】 把下列各式的分母有理化． （1） ；（2） （ ） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个 因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解 法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中 的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 运用配方法 【例4】化简 ＝正言 ＝ 礼冈－ 2 x 立 1+12 【解】原式 = J陑－矿＝ 五－1 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“ 1一五” 平方法 五十五言亏 【例5】化简 （二 十二 ）3 【解】∵ = 6 - .....序 + 2如－飞序 X6＋思 ）＋ 6＋厉 = 1 2 + 2 6 亡百 ＝平 ∴ ．五言丐十五三亏= ∴ ． 【解后评注】对于这类共轭根式 化简 a－嘉与a ＋ 嘉的有关问题，一般用平方法都可以进行 恒等变形公式法 【例6】化简信飞 －岳f ＋停 －迈＋、肩 【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 运算简化． (a+b)2+(a-b)2 = （2 矿＋ 沪） ，则使 【解】原式= [ J3 （+ 在－石）厂忙－（在－§)『 叽汇(-.f－i 司］＝ 2 x( 3 + 8 - 4 3°) = 22 -8\{3 常值换元法 【例7】化简 1998 X1 999 X 2000 X 2001+1 【解】令1998 = a ，则： ＝ 护(a +1（) a + 2（) a + 3)＋ 1 原式 ＝甚 忙＋ 3a炉＋ 3a + 2）+1 = 忙＋ 3a) + 2忙＋ 3a)+1 = 忙＋ 3a +1) = a2 +3a +1 = 19982 + 3x1998 +1 = 3997999 裂项法 1 + 1 ＋ 1 ＋ A + 1 【例8】化简 1 + 忑 忑 ＋｀5 袅＋ 喜 岳 ＋ OOO 【解】原式各项分母有理化得 原式＝（五－1）飞5－五）＋A ＋（房 －范 ）＋（厮 －岳 ） ＝陑 －1 = 10 - 1 = 9 【例9】化简 2 + 2汇 而 4 + 2巩子 而 （汇 司 2 ＋ 飞行）勹丘 司 4＋汇 ） 【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子 等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解： 【解】原式 = （2＋ 石）＋（石＋沺 ）（汇＋而 ）＋（4 ＋平 ）汇 如 I, 2＋ 石）十 [....,丘而 ＼，4 ＋妇 ） =11 + 1 + 1 + 1 =1 石＋｀陑 2＋ 石 五子 而 4 + ｀尼 +乳－行.....(7 - 2 . \尼－扎0, 4－臣 + ＋ ＋ 3 3 3 3 ＝如3（而 －飞行＋ 石－2＋忘 －加 ＋ 4－飞陌 ）＝32 构造对偶式法 n +2 ＋岱 言 十 n + 2＋汇言 【例10】化简 n + 2 - 嘉 n + 2＋嘉 【解】构造对偶式，于是没 a= n + 2 ＋嘉 亡 4 ， b = n + 2 - 沪言 则a+ b = 2n + 4 ， ab ＝ 钮＋ 8 ， ab= 2(a +b) a, b _ a2 + b2 _ (a + b)2...., _ a + b =—+—= ＝ －2 = －2 原式 b a ab ab 2 =n+2-2=n 由里向外，逐层化简 扣98』1997 J 1996 1995 x 1993 +1 +1 +1 +1