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中考数学专题讲座 函数、方程、不等式问题 【知识纵横】 函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式， 体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交 点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。又如例4复合了一次函数、二次函数，并 对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。 【典型例题】 【例1】（天津市）已知抛物线y  3ax 2  2bx  c ， （1）若a  b  1 ，c  1，求该抛物线与 轴公共点的坐标； x （2 ）若a  b  1 ，且当1 x  1 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，求 的取值范围； x c （3 ）若a  b  c  0 ，且 时，对应的 ； 时，对应的 ，试判断当0  x  1 x  0 y  0 x  1 y  0 1 1 2 2 时，抛物线与 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由． x 【思路点拨】（Ⅰ）令y=0，求方程的两根；（2）考虑判别式；（3）由不等式及结合图像 解之。 x A(2，0) B(4，0) y C(0，8) 【例2】（黄石市）如图，已知抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ． D （1）求抛物线的解析式及其顶点 的坐标； CD x E OB P P （2 ）设直线 交 轴于点 ．在线段 的垂直平分线上是否存在点 ，使得点 到直线 CD P O P 的距离等于点 到原点 的距离？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理 由； B x CD F （3 ）过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，将抛物线沿 y EF 其对称轴平移，使抛物线与线段 总有公共点．试探究：抛 C 物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个 单位长度？ P(2，t) t 【思路点拨】（2）设 ,建立关于 的方程； A O B x （3）考虑抛物线向上平移、向下平移两种情况。 x y x  k y  17 y 【例3】（吉林长春）已知两个关于 的二次函数 与当 时， ；且二次函数 1 2 2 的图象的对称轴是直线x  1 ． y ，y  a (x  k )2  2(k  0)，y  y  x 2  6x  12 2 1 1 2 k （1）求 的值；