初三下学期圆的认识到垂径定理剖析.docxVIP

圆的概念与性质 M1 一.感知圆的世界 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象. 观察车轮，你发现了什么？ 二、圆的概念 如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点O 叫做圆心 线段 OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”． 从画圆的过程可以看出： O A 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 归纳：圆心为O、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形． 圆的两种定义： 动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 静态：圆心为O、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形． 为什么车轮是圆的？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中 心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做 成圆形的数学道理． 三．与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦；经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 1 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B 为端点的弧记作 AB， 读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 小于半圆的弧（如图中的 AC）叫做劣弧； 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ABC）叫做优弧. ·O · O A C 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆（即半径相等的两个圆） 叫做等圆。在同圆或等圆中能够完全重合的两条弧叫做等弧。 练一练 1.如何在操场上画一个半径是 5m 的圆？说出你的理由 首先确定圆心, 然后用 5 米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以 5 米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆。（根据圆的形成定义） 练一练 如图,一根 5m 长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域. 4m5 4 m 5 m o 5 m 4 m o 想一想： 一、判断下列说法的正误： (1) 弦是直径； ( ) （2）半圆是弧； ( ) 过圆心的线段是直径； ( ) （4）过圆心的直线是直径； ( ) （5）半圆是最长的弧； ( ) （6）直径是最长的弦； ( ) 圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; ( ) 半径相等的两个圆是等圆. ( ) 二、选择 1、以点O 为圆心作圆可以作（ ） 2 A、1 个； B、2 个； C、3 个； D、无数个。 2、如图，点A、O、D 以及B、O、C 分别在一条直线上，则圆中的弦的条数为（ ） A、2； B、3； C、4； D、5 3.（1）如图,半径 OA,OB,OC 有：若∠AOB=60°，则△AOB 是 三角形. 如图,弦有： ，在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦。 如图,弧有： . 弧 ABC,ACB,BAC 它们一样么？ 2 .劣弧有： ；优弧有： 你知道优弧与劣弧的区别么？ 判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( ) 思考题： 求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。已知：矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于O。 求证：A、B、C、D 在以O 为圆心的同一圆上。 D O C 点和圆的位置关系有哪几种呢？ 点在圆内，点在圆上，点在圆外点与圆的位置关系 M2：点和圆的位置关系 A B 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有： O C 点 P 在圆外 ? dr 点 P 在圆上? d=r 点 P 在圆内? dr 注：“ ? ”读作“等价于”，它表示从符号“ ? ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端。 同学们能用命题的形式来表述点和圆的位置关系吗？ 如：如果点 P 到圆心的距离 d 大于圆的半径，那么点 P 在圆外，反之亦然。 3 活动一：实践探究 垂径定理 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴圆是中心对称图形，对称中心是圆心 活动二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD⊥AB，垂足为 E。 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 若直径 CD⊥AB，垂足为 E，则直径 CD 平分弦 AB，且平分及 即：AE=BE 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理的几个基本图形： 例 1：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm