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路灯问题 数学实验实验报告 问题重述 在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？ 二、模型假设 1.假设路灯的光照强度为I=k 2.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m； 3.假设路灯为同一型号并且两个路灯可以视为质点； 4.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响，路灯正常工作； 5.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线。 三、问题分析 问题一 根据两路灯间的距离关系建立坐标轴，利用路灯光照强度的计算公式列出方程，再用MATLAB软件求解。 问题二 由于h2的高度可变，在问题一建立的方程的基础上，先对X求偏导，再对h2求偏导，最后用MATLAB软件编程求解。 问题三 因为h1和h2的高度都可变，同问题二，依次对X，h1，h2求偏导 四、模型的建立和求解 由题意可以画出草图 假定路灯光照强度系数k=1。 对于问题一 假设Q (x,0)是两盏灯连线上的一点，则两盏灯在点Q的光照强度分别为 =k =k =+ =+ = = 所以Q点的光照强度 I = + 要求求最暗点和最亮点的问题就转换为求I的最大值和最小值，则先求出函数的极值点。 利用MATLAB求得时X的值 其代码为： s=solve((-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))); s1=vpa(s,8); s1 得到其运行结果，因为X是大于等于0的，选出有效的 X值，利用MATLAB求出其对应的I值。 X=0; I=0.08197 X=0.028489970 I=0.08198 X=9.3382991 I=0.01824 X=19.976695 I =0X=20 I=0 综上所述，x=9.33m时，为最暗点; x=19.97m时，为最亮点。 对于问题二 3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数： I = + 与问题一同理，求出函数I的极值即为最暗点和最亮点。 利用MATLAB求出x的值，代码如下： solve(3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0 得到 x2=20-2^(1/2)*h 同样利用MATLAB求出的值，代码如下： solve(-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0) 又因为h在3到9之间，所以=7.42239m 最后利用其求解x和亮度I，代码如下： h=7.42239; x=20-2^(1/2)*h I=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2)) 得到结果x=7.42239 I=0.0186 所以x=9.5032 ，h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。 对于问题三 如果两只灯的高度均可在3M到9M之间变化，则 I为关于x,h1,h2的三元函数，同解可得 I = + 同理对其函数进行求导 最后利用MATLAB求出x,,的值，代码如下： solve(1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))); s1=vpa(s,6); a=(1/sqrt(2))*s1; a1=double(a); b=(1/sqrt(2))*(20-s1); b1=double(b); a1,b1,s1 运行结果得 a1=6.5940 b1=7.5482 s1=9.32530 所以当 h1 =6.5940，h2=7.5482 ，x=9.32530时，