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共 6 页第 共 6 页 第 PAGE 1 页 2008 2009 郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业光电子方向量子力学试题（A 卷） 题号 题号 得分 一 二 三 总分 （说明：考试时间 120 分钟，共 6 页，满分 100 分） 得分评卷人计分人： 复查人： 得分 评卷人 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 微观粒子具有 波粒 二象性。 德布罗意关系是粒子能量E、动量P 与频率 、波长 之间的关系，其表达式为： E = h , p = h / 。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 3．根据波函数的统计解释， (x,t)2dx 的物理意义为： 粒子在x—dx 范围内的几率 。 量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 x,pi。坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符 p x,p i 。 x 量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数 (x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F 的 本征值 。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 定态波函数的形式为： (x,t) (x)e iE nt 。 n 。 一个力学量A 为守恒量的条件是： A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函 数是_ 反对称的 ,玻色子体系的波函数是_ 对称的 _。残骛楼 諍锩瀨濟溆塹籟。 每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 。 2 得分评卷人二、证明题：（每题 10 分，共 20 得分 评卷人 1、（10 分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： [L ,L ] i L x y z 证明： [L ,L ] [yp x y z zp ,zp y x xp ] z [yp z ,zp x xp ] [zp z y ,zp x xp ] z [yp z ,zp x ] [yp z ,xp z ] [zp y ,zp x ] [zp y ,xp ] z [yp z ,zp x ] [zp y ,xp ] z y[p z ,zp x ] [y,zp ]p x z z[p y ,xp z ] [z,xp ]p z y y[p z ,zp x ] [z,xp ]p z y yz[p ,p z x ] y[p z ,z]p x x[z,p ]p z y [z,x]p p z y y( i )p x x(i )p y i [xp y i L yp ] x z 2 2、（10 分）由 Schr dinger 方程 i (r,t) [ 2 V (r)] (r,t) t 2 t证明几率守恒： J 0 。 t 其中几率密度 (r,t) (r,t) (r,t) | (r,t)|2 几率流密度 J i [ ] 。 2 证明：考虑 Schr dinger 方程及其共轭式： 2 i [ 2 V ] t 2 (1) 将 (1) (2)式得： 2 i [ 2 V ] t 2 (2) 2 i i [ 2 2 ] t t 2 2 i （ ） [ ] t 2 在空间闭区域τ中将上式积分，则有： i d （ ）d 2 [ ]d dt 2 d （ ）d i [ ]d dt 2 d (r ,t)d Jd dt J 0 t 得分评卷人三、计算题：（共 40 得分 评卷人 31、（10 分）设氢原子处于状态 3 (r, , ) 1 R 2 (r)Y 21 10  ( , ) R 2 (r)Y 21 1 1 ( , ) 求氢原子能量E、角动量平方L 2、角动量Z 分量 L 的可能值及这些可能值出现的几率。 Z 解：在此状态中，氢原子能量有确定值 e2 e2 E s s (n 2)，几率为 1 2 2 2 n 2 8 2 角动量平方有确定值为 L2 ( 1) 2 2 2 ( 1)，几率为 1 角动量 Z 分量的可能值为 L 0 L Z 1 Z 2 其相应的几率分别为 1 ， 3 4 4 2、（10 分）求角动量z 分量 L i d 的本征值和本征函数。 z d 解： L ( ) i d ( ) l ( ) z d z 解得： ( ) ce i lz 其中 c 是积分常数，亦可看成归一化系数。 波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即： ( ) ( 2 ) ceil ceil ( 2 ) z z e1il 2 e 1 z 2 l 于是 z  2 m m 0, 1, 2, l m m 0, 1, 2, z 求归一化系数 2 | |2 d 0 c 2 2 d 0 2 c 2 1 2c 1 2 最后，得 Lz 的