知识讲解基础等差数列.docxVIP

如果对你有帮助，请下载使用！ 如果对你有帮助，请下载使用！ PAGE PAGE 1 等差数列 编稿：张林娟 审稿：孙永钊 【学习目标】 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，了解等差数列与一次函数的关系； 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前 n 项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【学习策略】 数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n 项和公式的性质特点. 注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及a 1 、n 、d 、a n 、S 五个量， n 已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量. 【要点梳理】 要点一：等差数列的定义文字语言形式 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等 差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 要点诠释： ⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d （即公差）；符号语言形式 对于数列{a }，若a ? a ? d ( n ? N ， n ? 2 ， d 为常数)或a ? a ? d ( n ? N ， d 为常数)， n n n?1 ? n?1 n ? 则此数列是等差数列，其中常数d 叫做等差数列的公差. 要点诠释：定义中要求“同一个常数d ”，必须与n 无关. 等差中项 如果a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即 A ? a ? b 2 . 要点诠释： ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数. 任意两实数a，b 的等差中项存在且唯一. ②三个数a ， A ， b 成等差数列的充要条件是 A ? 要点二：等差数列的通项公式等差数列的通项公式 a ? b 2 . 首相为a 1 ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式为： 推导过程： 归纳法： 根据等差数列定义a ? a ? d 可得： a ? a ? d ， n n?1 n n?1 ∴ a ? a 2 1 d ? a 1 ? (2 ?1)d ， a ? a 3 2 d ? (a 1 d ) ? d ? a 1 2d ? a 1 ? (3 ?1)d ， a ? a 4 3 d ? (a 1 ? 2d ) ? d ? a 1 3d ? a 1 ? (4 ?1)d ， …… 当 n=1 时，上式也成立 ∴归纳得出等差数列的通项公式为： a n 叠加法：  ? a ? (n ? 1)d （ n ? N 1  ?）. 根据等差数列定义a ? a ? d ，有： n n?1 a ? a 2 1 a ? a ? d ， ? d ， 3 2 a ? a 4 3 …  ? d ， 把这n ?1个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得a ? a n 1 ? (n ?1)d ， ∴ a ? a n 1 ? (n ?1)d . (3)迭代法： ∴ a ? a n 1 ? (n ?1)d . 要点诠释： ①通项公式由首项a 1  和公差d 完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确 定了. ②通项公式中共涉及a 1  、 n 、d 、 a n  四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个 量. 等差数列通项公式的推广 已知等差数列{a n }中，第m 项为a m ，公差为d ，则： 证明：∵ a n ? a ? (n ?1)d ， a 1 m ? a ? (m ?1)d 1 ∴ a ? a n m ? [a 1 ? (n ?1)d ] ?[a 1 ? (m ?1)d ] ? (n ? m)d ∴ a ? a n m (n ? m)d 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式a n 成是m ? 1时的特殊情况. 要点三：等差数列的性质 ? a ? (n ?1)d 可以看 1 等差数列{a n }中，公差为d ，则 ①若m, n, p, q ? N ，且m ? n ? p ? q ，则a ? a ? a ? a ， m n p q 特别地，当m ? n ? 2 p 时a ? a m n ? 2a . p ②下标成公差为m 的等差数列的项a ， a ， a ，…组成的新数列仍为等差数列，公差为md . k k ?m k ?2m ③若数列?b n ?也为等差数列，则?a n ? b ?，?ka n n ? b?，（k，b