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基于计算机仿真的汽车灯光源优化设计 2002年全国学生数学建模比赛的主题是“车灯光源优化设计”。由于理论上的困难，获得满足设计要求的最合适长度的光线源很困难。本文件采用科学运行语言nb6。0.计算机模拟技术法获得满足设计要求的最佳连续光源长度，反映了计算机模拟方法在数学建模中的重要性。 1 设计规范的要求,在合理的条件下确定线光源的长度和功率 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面, 车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米, 深度21.6毫米.经过车灯的焦点, 在与对称轴相垂直的水平方向, 对称地放置一定长度的均匀分布的线光源.要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度.该设计规范在简化后可描述如下: 在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏, 屏与FA垂直, 用以测试车灯的反射光.在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线, 在该直线A点的同侧取B点和C点, 使AC=2AB=2.6米.要求C点的光强度不小于某一额定值 (可取为1个单位) ,B点的光强度不小于该额定值的两倍 (只须考虑一次反射) .在满足该设计规范的条件下, 计算线光源长度, 使线光源的功率最小. 2. 入射光线方程的建立 由于线光源是均匀分布的, 要使线光源功率最小, 其长度也应该较小.但若线光源的长度太小, 有可能出现C点的光强度小于额定值;若线光源的长度过大, 虽然能同时满足B、C两点光强度的要求, 但线光源的功率也增大了.我们的目的就是在B、C两点光强度满足题目要求的情况下, 求出最优的线光源长度, 又由于到达屏上某一点的光线数目与该点的光强度成正比, 因此, 可以将题中条件转化为:到达C点的光线数目不小于某一额定值, 到达B点的光线数目不小于该额定值的两倍. 另一方面, 在抛物线上任取一点, 并利用光路的可逆性, 分别求出能够到达B点和C点的入射光线方程.若入射光线与线光源所在直线的交点的纵坐标的绝对值不大于线光源长度的一半, 即与线光源有交点, 则表示该光线经反射后能够到达屏上的B点或C点.这可通过计算机仿真来实现. 3、 抛物面为单一曲面的考虑 (1) 线光源看成是无数个点光源叠加而成; (2) 不考虑光在抛物面上的折射, 并且光在传播过程中, 其强度不受空气的影响; (3) 不考虑车灯前配置镜面对反射光方向的影响. 4、 过p点法线pn的斜率和反射角 以抛物面的顶点为原点O, 对称轴为x轴, 过点O且与线光源平行的直线为y轴, 过顶点且与x轴、y轴垂直的直线为z轴, 建立空间直角坐标系.由题中所给数据可求得旋转抛物面的方程是:60x=y2+z2.根据光路的几何原理和空间解析几何的知识, 易推出结论: 线光源发出的光线经抛物面反射后若能到达B、C两点, 则反射点应在抛物线60x=y2上.如图1所示.由题意可知B(25015, 1300) ,C(25015, 2600) ,F(15, 0) .其中F是焦点. i) 能够到达B点的入射光线方程的求法 设入射光线的斜率是k.在抛物线上任取一点Ρ(y2060?y0)P(y2060?y0), 则直线BP的斜率为 kBΡ=1300-y025015-y02/60.kBP=1300?y025015?y02/60. 显然, 由导数的几何意义知:过P点法线PN的斜率是kΡΝ=-y030kPN=?y030.又根据光路的几何原理 (入射角等于反射角) 有kBΡ-kΡΝ1+kBΡkΡΝ=kΡΝ-k1+kΡΝkkBP?kPN1+kBPkPN=kPN?k1+kPNk.于是将kBP和kPN代入即得 k=6000(-11700-15000y0+13y02)1350810000-4680000y0-1498200y02+y04. 从而就得到过P点的入射光线的方程为 y=y0+6000(-11700-15000y0+13y20)1350810000-4680000y0-1498200y02+y04(x-y0260). ii) 能够到达C点的入射光线方程的求法 同i) , 易求得能够到达C点且过P点的入射光线方程为 y=y0+12000(-11700-7500y0+13y02)1350810000-9360000y0-1498200y02+y04(x-y2060). iii) 计算机仿真 尽管线光源与起反射作用的抛物线是连续型的, 但为了使到达B、C两点的光线粒子化, 我们不妨将它们看作是间隔足够小 (比如0.01mm) 的离散型点列.这是一种离散化的处理方法, 其目的是为了计算机仿真.下面使用Matlab语言来编程, 这需建立一个M-文件: 经反复实验比较, 可以找到满足设计要求的最优线光源长度约为L=2l=2×1.97=3.94mm (对应于dy0=0.01mm, dl=0.01mm, M=1670) .此时, 光线到达B