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二次根式的知识点归纳总结 知识点一： 二次根式的概念 形如 （ ）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式， 但必须注意：因为负数没有平方根，所以 ， 等是二次根式，而 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0 时， 义。 知识点三：二次根式 （ ）的非负性 没有意 （ ）表示a 的算术平方根，也就是说， 0（ ）。 （ ）是一个非负数，即 注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ）， 这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0；若 1 ，则 a=0,b=0。 知识点四：二次根式（ ） 的性质 （ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的 公式也可以反过来应用：若 ，则 ，如： ， . 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注： 1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则 等于 a 本身，即 ；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即 ； 2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义； 3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。 2 知识点六： 与 的异同点 1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的 平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。 因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义， 而 . 3 PAGE PAGE 4 二次根式测试题（一） 下列式子一定是二次根式的是（ ） ? x ? 2xx2 ? 2x ? x ? 2 x x2 ? 2 x2 ? 2 (3 ? b)2 若 ? 3 ? b ，则（ ） A．b3 B．b3 C．b≥3 D．b≤3 3m ? 1 3m ? 1 A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3 x ? x ? x 2 x 的结果是（ ） A．0 B．—2 C．0 或—2 D．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） 1448A． B． 14 48 xx ? 6如果 x x ? 6 C． D． ab4a a b 4a ? 4 x(x ? 6) 16a45a10ax≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D． 16a4 5a 10a 3a2aaa 3a 2a a a 2 ? 1 a a ? 4a2 ；② ? ? 5 2a ； 1a③ a 1 a ? ；④ ? ? 。做错的题是（ ） 330A．① B．② C．③ D．④ 330 化简 的结果为（ ）A． 1 ? 1 ? 1 5 6 11 30 D． 30 3301130 330 11 4 ? 2a若最简二次根式 1 ? 4 ? 2a 的被开方数相同，则a 的值为（ ） a ? ? 3 8224 8 2 2 a ? 4 ? 2 ? 2 ( 2 C．a=1 D．a= —1 化简 ? 2) 得（ ）A．—2 B． ? 2 C．2 D． 4 ? 2 11．① 12．二次根式 ? ；② ? 。 (?0.3)2(2 (?0.3)2 (2 ? 5)2 x ? x ? 3 m23 m3x2 ?113．若 m0，则| m | ? m2 3 m3 x2 ?1 x ?1x ? x ?1 x ?1 成立的条件是 。 3?，1312 ? 3 ? ， 13 12 ? 2xy8y273a3 a316． ? 2xy 8y 27 3 a 3 a 3 9a17．计算 a ? ? = 。 9a 1 3 ? 3 ? 2 与 ? 的关系是 。 32若 x ? 3 2 ? 3 ，则 5x2 ? 5 x2 ? 6x ? 5 11 3 的值为 。 ? 1545化简 ? 15 45 ? ? ? 108 ? 的结果是 。 ? ? 1 ? 8 1 ? 8a 3 m2 ? 4 ? 1 x 3x ? 3x ? 4 （2） （3） （4） 化