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第五节 矩阵的初等变换 内容分布图示 ★ 初等变换 ★ 例 1 ★ 阶梯形矩阵 ★ 定理 1 ★ 初等矩阵 ★ 定理 2 ★ 求逆矩阵的初等变换法（定理3） ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 用初等变换法求解矩阵方程 AX ? B ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2-5 ★ 返回  ★ 例 2 ★ 例 7 ★ 例 11  ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 8 内容要点： 一、矩阵的初等变换 在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式， 从而简化行列式的计算， 把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换. 定义 1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: 交换矩阵的两行(交换i, j 两行,记作r i ? r ); j 以一个非零的数k 乘矩阵的某一行(第i 行乘数k ,记作r ? k ); i 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行(第 j 行乘k 加到i 行,记为r i  kr ). j 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把r 换成c ). 初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 1k注:初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型相同 1 k 例如，变换 r ? r 的逆变换即为其本身；变换 r ? k 的逆变换为 r ? ；变换 r kr 的 逆变换为r i i j (?k )r 或 r j i  kr . j i i i j 定义 2 若矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵B , 则称矩阵 A 与 B 等价, 记为 A ~ B （或 A ? B ）. 注：在理论表述或证明中，常用记号“ ~”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“ ? ”. 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: 反身性 A ~ A ; 对称性 若 A ~ B ,则 B ~ A ; 传递性 若 A ~ B , B ~ C ,则 A ~ C . 一般地, 称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵: 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方; 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）. 一般地, 称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵： 各非零行的首非零元都是 1； 每个首非零元所在列的其余元素都是零. 一般地，矩阵 A 的标准形 D 具有如下特点： D 的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为 0. 定理 1 任意一个矩阵 A ? (a ) 经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵 ij m?n ?1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? E O ? A ? ? ?r行 ? ? r r?(n?r ) ?. ?? 0 ? ? O(m?r )?r ? ? ? O(m?r )?(n?r ) ? ? ? ? ?? r列 ? ? 注: 定理 1 的证明也实质上给出了下列结论: 定理1? 任一矩阵 A 总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 并进而化为行最简形矩阵. 根据定理 1 的证明及初等变换的可逆性,有 推论 如果 A 为 n 阶可逆矩阵, 则矩阵 A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵 E, 即 A ~ E. 二、初等矩阵 定义 3 对单位矩阵 E 施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换分别对应着三种初等矩阵. E 的第i, j 行(列)互换得到的矩阵 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?? ? ? ? 0 ? 1 ? 1 ? i行 ? ? E(i, j) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? j列 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1? ? 1 ? ? i列 j列 E 的第i 行(列)乘以非零数k 得到的矩阵 ?1 ? ? ? ? ? E(i(k)) ? ? k ? ?i行; ? ? ? ? ? 1? ? 1 ? ? i列 E 的第 j 行乘以数k 加到第i 行上,或 E 的第i 列乘以数k 加到第 j 列上得到的矩阵 ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? k ? ? i行 ? ? E(ij(k)) ? ? ? ? ? ? . 1 ? j列 ? ? ? ? ? ? 1? ? ? i列 j列 命题 1 关于初等矩阵有下列性质： (1) E(i, j)?1 ? E(i, j) ; E(i(k))?1 ? E(i(k ?1)); E(ij(k))?1 ? E(ij(?k) ). (2) | E(i, j) |? ?1; | E(i(k )) |? k; | E(ij(k )) |? 1 定理 2 设 A 是一个 m ? n 矩阵, 对 A 施行一次某种初等行(