1圆中作辅助线的常用方法.docxVIP

1．圆中作辅助线的常用方法： 作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。 若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心， 利用垂径定理的推论得出结果。 若题目中有“直径”这一条件， 可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到 90 度的角或直角三角形。 连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。 若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O 中，BD⊥OA 于 D， 经常是：①如图1（上）延长BD 交圆于C，利用垂径定理。 ②如图 1（下）延长AO 交圆于 E，连结BE ， BA，得 Rt △ ABE。 （10）对于圆的内接正多边形的问题， 往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。 例题 1：如图 2，在圆 O 中，B 为 的 中点，BD 为 AB 的延长线，∠OAB=500， 求∠CBD 的度数。 解：如图，连结OB、OC 的圆 O 的半径， 已知∠ OAB=500 ∵B 是弧 AC 的中点 ∴弧 AB=弧 BC ∴AB==BC 又∵OA=OB=OC ∴ △ AOB ≌ △ BOC （ S.S.S ） 图 2 ∴ ∠ OBC= ∠ 图 1（下）  图 1 （ 上 ） ABO=500 ∵ ∠ ABO+ ∠ OBC+ ∠ CBD=1800 若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径， 若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。 若题目中有“两圆相交”的条件， 经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。 ∴∠CBD=1800 - 500- 500 ∴∠CBD=800 答:∠CBD 的度数是 800. 例题 2:如图 3,在圆 O 中,弦 AB、CD 相交于点 P，求证：∠APD 的度 数= 1 （弧 AD+弧 BC）的度数。 2 证明：连接 AC，则∠DPA= 有些问题可以先证明四点共圆， 借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。 ∠C+∠A ∴∠C 的度数= 1 2  弧 AD 的度 数 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段 1 例 6. AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE⊥CD 于 ∠A 的度数= 2 弧 BC 的度数 E,BF⊥CD 于 F.(1)求证:EC = DF; ∴∠APD= 1（弧 AD+弧 BC） 2 图 3 (2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O 的面积; 三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形 例 7. AB是⊙O 直径,弦CD⊥AB,M 是 AC 上一点,AM 延长线交DC 延长线于F. 求证: ∠F = ∠ACM; 四、切线的综合运用 1．已知过圆上的点，常 AO A O 1 P C B 1 与⊙O 2 外切于 P，AC 是 过 P 点的割线交⊙O 于 1 A，交⊙O 于C，过点O 2 1 的直线AB ⊥BC 于 B.求 证： BC 与⊙O 2 相切. 一、造直角三角形法 构成 R t△,常连接半径 例 1. 过⊙O 内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦 CD = 10cm ,求AM 长; 遇有直径,常作直径上的圆周角 例 2. AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于A,CB 交 ⊙O 于D,过 D 作⊙O 的切线,交AC 于 E. 求证:CE = AE; 遇有切线,常作过切点的半径 例 3 .割线 AB 交⊙O 于 C、D,且 AC=BD,AE 切 ⊙O 于E,BF 切⊙O 于 F. 求证:∠OAE = ∠OBF; 遇有公切线,常构造R t△(斜边长为圆心距, 一直角边为两半径的差 ,另一直角边为公切 线长) 例 9.如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF交⊙O 于 E，过 E 点作直线与 AF 垂直交 AF 延长线于 D 点，且交AB 于C 点． 求证：CD 与⊙O 相切于点E． 2.两个条件都没有,常 例 10. 如图，AB 是半圆的直径， AM⊥MN， BN⊥MN，如果 AM+BN＝ AB，求证: 直线MN 与半圆相切； 例 11. 等 腰 △ ABC 中,AB=AC,以底边中点 D 为圆心的圆切 AB 边于 E 点. 求证:AC 与⊙D 相切; 例 12．菱形ABCD 两对角线交于点O，⊙O 与AB 相切。 求证：⊙O 也与其他三边都相切； 五、两圆相关题型 两圆相交作 例 4 .小 ⊙O 与大⊙O 外切于点 A,外公切线 例 13.⊙O 与⊙O 1 2 相交于A、B，过 A 点作直线 1 2 交⊙O 于C 点、交⊙O 于 D 点，过 B 点作直线 BC、DE 分别和⊙O 、⊙O 1 2 切于点B