02 第二节 n阶行列式的定义.docxVIP

第二节 n 阶行列式 内容分布图示 ★ 排列与逆序 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 引例 ★ n 阶行列式定义 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 对换 ★ n 阶行列式定义的其它形式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-2 ★ 返回 内容要点： 一、排列与逆序 定义 1 由自然数 1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个 n 级排列(简称为排列)。 例如，1234 和 4312 都是 4 级排列，而 24315 是一个 5 级排列. ?定义 2 在一个n 级排列(i i i ? 1 2 t i i ) 中，若数i ??s n t ? ? ? i , 则称数i s t 与i 构成一个逆序. s ?一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为 N (i i ? 1 2 i ). n ?根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数: ? 设在一个n 级排列i i 1 2 ?in 中,比i t (t ? 1,2, , n) 大的且排在i t 前面的数由共有t i 个, 则 t 的逆序的个数为t i i , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即 N (i i 1 2 i ) ? t ? t ?n 1 2 ? ? t ?n ? ? ?n t . i i?1 定义 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 二、n 阶行列式的定义 ?定义 4 由n 2 个元素a (i, j ? 1,2, , n) 组成的记号 ? ij a a 11 12 a a 21 22 ? ? a a n1 n2 a ?1n ? ? a2n ? ? ? ann 称为n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素 乘积 a a 1 j 2 j 1 2 ?anj n 的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对 应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即 ?a a a ? 11 12 1n 1a a 1 21 22 ? ? ? a2n ? ? ? ? (?1) N ( j j2 ? jn ) a a a ?1 j 2 j nj ? ?1 2 n ? ?a a a ? n1 n2 nn j j j 21 n 2 其中 ? 表示对所有n 级排列 j 1 j2 ? jn 求和. 行列式有时也简记为det (a ij ) 或| a ij | ，这里 ?j j j ? 1 2 n 1数 a 称为行列式的元素，称 (?1) N ( j 1 ij j2? jn ) a a a ?1 j 2 j nj ? 1 2 n 为行列式的一般项. 注: (1) n 阶行列式是n!项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所 带的符号)各占一半; a a 11 j 2 j 1 1 2 ?anj n 的符号为(?1) N ( j j2 ? jn ) (不包括元素本身所带的符号); 一阶行列式 | a |? a, 不要与绝对值记号相混淆. 三、对换 为进一步研究 n 阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。 定义 5 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。 定理 1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。 推论 奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数, 偶排列变成自然顺序排列的对换次数为偶数. 定理 2 n 个自然数(n1)共有 n!个 n 级排列，其中奇偶排列各占一半. 定理 3 n 阶行列式也定义为 D ? ?(?1)s a i1 j1  a i2 j2  a ?in jn ? 其中 S 为行标与列标排列的逆序数之和. 即 S= N (i i 1 2 ? ? ? i n ) ? N ( j j 1 2 ? ? ? j ) 。 n 推论 n 阶行列式也可定义为 D ? ?(?1)N (i i ???i ) a a  ?a , 1 2 ni11 1 2 n inn 例题选讲： 排列与逆序 例 1 (讲义例 1) 计算排列 32514 的逆序数. 例 2 计算排列 217986354 的逆序数, 并讨论其奇偶性. 例 3 (讲义例 2) 求排列n(n ? 1)(n ? 1)?321 的逆序数, 并讨论其奇偶性. 00010 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 例 4 (讲义例 3) 计算行列式 D ? . a a 11 12 0 a 例 5 (讲义例 4) 计算上三角形行列式 22 a