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2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 2 伯努利方程 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 第三十页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 求出通解后，将 代入即得 代入上式 第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 解 例 2 第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 解 代入原方程 原方程的通解为 3 其他的变量替换法举例 第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 通解为 解 第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * EX 3. 1 第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 1 解 代入原方程 原方程的通解 第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 解 分离变量法得 所求通解为 第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 3. 解 第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * ( h, k 为待 例5 求解可化为齐次方程的方程 作变换 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 求出其通解后, 即得 原方程的通解. 原方程可化为 令 (可分离变量方程) 第四十页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 解 代入原方程得 例 方程变为 第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 分离变量, 得 得原方程的通解 第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 6.5 可降阶的高阶方程 1、 型 降阶 n阶降到n-1阶 2、 型 3、 型 第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 型 代入原方程, 得 解法： 特点： P(x)的(n-k)阶方程 可得通解. 第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原方程通解为 例 1 第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 型 求得其解为 原方程通解为 特点： 解法： 第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 解 代入原方程得 原方程通解为 例 2 第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 6.6、微分方程应用举例 应用微分方程解决实际问题的基本步骤： （1） 分析问题，建立起实际问题的数学 ?????? 模型—常微分方程（组） （2） 求解与分析这一数学模型，即求出 相应的常微分方程（组）的解，或 是精确解或近似解，其中还包括分 析解的特性 第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日 南京航空航天大学 理学院 数学系 南京航空航天大学 理学院 数学系 几类简单的微分方程 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * 第一页，共六十八页，2022年，8月28日 2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 * — 积分问题 — 微分方程