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4. 存在?，??κ，使得对任意的A，如果A?κ，则A∪?＝A； 5. A∩B＝B∩A，A?κ，B?κ； 6. A∪B＝B∪A，A?κ，B?κ； 7. A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A?κ，B?κ； 8. A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)，A?κ，B?κ； 9. 对任意的A，存在一个A，使得A∪A＝κ，A∩A＝?； 10. 在类κ中至少存在两个不同的元素。 1. 布尔代数系统的公理 第一百二十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日 有了公理，我们只要再给出一些从已知的命题出发得到另一个命题的推理规则，就能从布尔代数的公理出发，推导我们需要的命题。注意，这些推理规则有语法推理规则和语义推理规则之分。 采用语法推理规则，推导只是形式上的，只关心从怎样的一些已知的形式上的命题（形式前提）推出一些以前未知的形式上的命题（形式结论），而不考虑这些已知的形式上的命题具体是一些什么样的命题，也不考虑它们和推导出的形式上的命题之间在逻辑真值方面是否一致。 1. 布尔代数系统的公理 第一百二十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日 3. 从属与包含关系 集合的表示应当注意以下两点： (1) 同一个集合中的元素是互不相同的。 (2) 集合中的元素之间不规定次序。 与空集合相对应的一个大的集合是所谓的全集合，即一切事物构成的集合。这是一个虚构的集合，但它在布尔代数的运算中是有用的。我们用1来表示这个虚设的全集合。 第九十三页，共一百七十八页，2022年，8月28日 3. 从属与包含关系 考虑两个集合A和B。若集合A的每一个元素也是集合B的一个元素，则称集合B包含集合A，也称集合A包含在集合B中，记为A?B 若A?B，则称A是B的子集合，B是A的母集合。显然，对任何集合A，有A?A。 若集合A、B之间存在A?B且A≠B，则称A是B的真子集合，记为A?B。若A?B，又有B?A，则可以得出结论A＝B。这是因为A的元素都是B的元素，而B的元素也是A的元素，说明A，B中拥有相同的元素，所以A和B相同，故相等。显然，对任何集合A，A?1。特别地，??1。 第九十四页，共一百七十八页，2022年，8月28日 3. 从属与包含关系 通常用大写英文字母作为集合的名称。若某事物a是集合A的一个元素，则记为： a∈A 并说“a属于A”，或者说“a在A中”。 若a不是集合A的元素，则记为： a ? A 当以枚举形式表示一个集合时，我们用一个大括号把这些枚举的元素括起来以表示这个集合。 例1 {麻雀，黄鹂，杜鹃，白鹭，红嘴鸥}是一个由五种鸟组成的集合； 第九十五页，共一百七十八页，2022年，8月28日 4. 集合的基本运算 集合的并 设A、B为两个任意集合，将集合A的元素和集合B的元素合并在一起，组成一个新的集合C，称为集合A和集合B的并集，简称A和B的并。可表示为： C＝A∪B＝｛x｜x∈A∨x∈B 求并集的运算称为并（运算）。 例5.1 若A={a，b，c，d}，B={b，d，e}，求集合A和B的并。 解：A∪B＝｛a，b，c，d，e｝ 第九十六页，共一百七十八页，2022年，8月28日 集合的交 设A、B为两个任意集合，定义A和B的公共元素构成的集合C为A和B的交集，简称A和B的交，记为: C＝A∩B＝｛x｜x∈A∧x∈B｝ 例5.3 若A={x | x -5}，B={x|x1}，求集合和B的交。 解：A∩B＝｛x｜x﹣5｝∩｛x｜x1｝＝｛x｜–5x1｝ 第九十七页，共一百七十八页，2022年，8月28日 集合的差 设A、B为两个任意集合，所有属于A而不属于B的一切元素构成的集合S，称为A和B的差集。可表示为： S=A－B=｛x｜x∈A∨x∈B｝。 求差集的运算称为差（运算）。 例5.2 若A={a，b，c，d}，B={b，d，e}，求集合A和B的差。 解：A－B={a，c} 第九十八页，共一百七十八页，2022年，8月28日 集合的补 设I为全集，A为I的任意一子集，I–A则为A的补集，记为A’。可表示为 A’=I–A=｛x｜x∈I，｝ 求补集的运算称为补（运算）求补集的运算称为补（运算） 例5.4 若I=｛x｜–5﹤x﹤5｝，A=｛x｜0﹤x﹤1｝，求。 解：A’=I–A=｛x｜–5﹤x﹤0∨1﹤x﹤5｝ 第九十九页，共一百七十八页，2022年，8月28日 集合的乘积 集合A1，A2，…，An的乘积一般用法国数学家笛卡尔（Rene Descar