《轴对称——最短路径问题》数学教学PPT课件(3篇).pptxVIP

最短路径问题知识回顾如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？选第②条两点之间，线段最短两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小．这是为什么呢？两点之间，线段最短连接AB，线段AB与直线l的交点P ，就是所求．探究相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl将军饮马问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl探究将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．你能要自己的语言重新描述一下问题吗？探究将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．C你能要自己的语言重新描述一下问题吗？C是l上一个动点，当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？探究如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？连接两点，交点就是所求同侧的情况也能直连接两点吗？不行探究如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？能不能把点在同侧的问题转化为点在异侧的问题呢？提示：将点B“移”到l 的另一侧B′处，得满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等．你想到怎么做了吗？探究如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？作法：作点B 关于直线l 的对称点B ′；连接AB ′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．B ’你能证明此时 AC+BC最短吗？证明证明此时AC+CB 最短证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′．由轴对称的性质知， BC =B ′C，BC ′=B ′C ′． ∴AC +BC= AC +B ′C = AB ′， AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′， ∵ AC ′+B ′C ′＞AB ′, ∴ AC ′+BC ′＞ AC +BC， 即AC+BC最短．归纳总结将军饮马问题条件特点简称为：两定一动直线同侧的两个定点和直线上一个动点问题特点求线段和最小求解思路利用轴对称，化折为直求解原理两点之间，线段最短例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M，同时向 A，B 两个居民小区送电 . （1） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的两旁，如图（1）所示，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，并说明理由．例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M，同时向 A，B 两个居民小区送电 . （2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，并说明理由 .作A的对称点可以吗？B ’练习如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PMQ的周长最短．提示：这本质上是“两定一动”求线段和最小的将军饮马问题．练习如图，一个旅游船从大桥AB的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．提示1：先把问题抽象为数学问题．提示2：这本质上是“两定一动”求线段和最小的将军饮马问题．造桥选址问题如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）你能把这个问题抽象成一个数学问题吗？抽象可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？这又是求线段和最小的问题，你能想到什么呢？能变成这种基本类型就好了分析AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？只有AM和NB会变，MN是不变的．所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．思考怎么把这个问题转化为基本类型呢？将AM沿着垂直于河岸的方向平移一个河宽的距离到AN．现在就变成基本类型了．怎么确定取最小时的N点呢？连接A’B，与直线b的交点就是所求．你能证明这个结论吗？证明证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’．由平移的性质可知，AM’=A’N’，AM=A’N∵A’N’