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空间向量与立体几何测试题（含答案） [学生用书 P151(单独成册)] [A 基础达标] 1 ．已知a ＝( －3 ，2 ，5) ，b ＝(1 ，5 ，－1) ，则a ·(a ＋3b ) ＝( ) A ．(0 ，34 ，10) B ．( －3 ，19 ，7) C ．44 D.23 解析：选 C.a ＋3b ＝( －3 ，2 ，5) ＋3(1 ，5 ，－1) ＝(0 ，17 ，2) ， 则 a ·(a ＋3b ) ＝( －3 ，2 ，5)·(0，17 ，2) ＝0 ＋34 ＋10 ＝44. 2 ．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，AB →＋BC →＋CC 1→ －D 1C 1→等于( ) A.AD 1→ B.AC 1→ C.AD → D.AB → 解析：选 A.AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→ . 3.如图所示，在几何体 A -BCD 中，AB ⊥平面 BCD ，BC ⊥CD ， 且 AB ＝ BC ＝1 ，CD ＝2 ，点E 为 CD 中点，则 AE 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选 B.AE →＝AB →＋BC →＋CE → ，因为|AB →|＝|BC →|＝1 ＝|CE →|，且 AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0. 又因为 AE →2＝(AB →＋BC →＋CE → )2 ， 所以 AE → 2 ＝3 ，所以AE 的长为 3.故选 B. 4.如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，P A ⊥平面 ABCD ， P A ＝AB ，则PB 与 AC 所成的角是( ) A ．90° B ．60° C ．45° D.30° 解析：选 B.将题中图补成正方体 ABCD -PQRS ，如图，连 接 SC ，AS ，则PB ∥SC ，所以∠ACS (或其补角)是 PB 与 AC 所成的 角．因为△ACS 为正三角形，所以∠ACS ＝60°，所以 PB 与 AC 所成的 角是 60°，故选 B. 5 ．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1 中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1 ＝BC ＝2 ，D 为 AA 1 上一点．若二面角 B 1-DC -C 1 的大小 为 60°，则 AD 的长为( ) A.2 B. 3 C ．2 D.2 2 解析：选 A.如图， 以 C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz ，则C (0 ，0 ，0) ，B 1(0 ，2 ，2) ．设 AD ＝a ，则点D 的坐标为(1 ，0 ，a ) ，CD → ＝(1 ，0 ，a ) ，CB 1→ ＝(0 ，2 ，2) ． 设平面 B 1CD 的法向量为 m ＝(x ，y ，z ) ，则m ·CB 1→ ＝0m ·CD →＝02y ＋2z ＝0 x ＋az ＝0 ，令z ＝－1 ，得m ＝(a ，1 ，－1) ．又平面C 1DC 的一个法向量为(0 ，1 ，0) ，记为 n ，则由cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，得 1 a 2 ＋2 ＝1 2 ，即 a ＝2 ，故 AD ＝ 2.故选 A. 6 ．已知平行六面体 OABC - O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→ ＝b ，D 是四边形 OABC 的对角线的交点，则 O ′D → ＝________ ． 解析：O ′D