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第一章 函数 极限 连续 ;第一节 函 数 ;1．区间;类似地可以定义： ， ． 称为左闭右开区间， 称为左开右闭区间， 和 统称为半开半闭区间． 以上这些区间都称为有限区间．数 称为这些区间的长度． 引进记号 （读作正无穷大）及 （读作负无穷大），则可类似地表示无限区间． ;2．邻域;1．函数的概念;理解函数的定义时，应注意以下几点： （1）定义域和对应法则是函数的两个要素．两个函数相同的充分必要条件是它们具有相同的对应法则及相同的定义域．关于对应法则，定义中用f表示，如果同时讨论几个不同的函数，应该用不同的字母表示不同的对应法则．关于定义域，如果函数描述的是实际问题，应由实际问题的实际意义而定．如果不考虑函数的实际意义，我们规定函数的定义域，是使函数解析式有意义的自变量所能取的值的全体． （2）定义域D与值域 均是由实数构成的集合． （3）对于定义域中的每一个 值，函数仅有一个确定的值与之对应．在实际问题中，有时会遇到对于定义域中的任一个 值， 的对应值有几个，这时称该函数为多值函数，定义中的函数称为单值函数． ;2．函数的表示法;三、函数的性质;四、反函数;定理 （反函数的存在定理） 若 在(a，b)上是单调增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且是单调增(减)． 注 单调性并不是一个函数存在反函数的必要条件，同学们不难举出非单调函数存在反函数的实例，请同学们自己给出答案．;2．反函数的图像性质;五、分段函数;六、初等函数;3．复合函数;4．初等函数;＊ 5．双曲函数的定义;第二节 数列的极限;一、数列极限的概念;2．数列极限的概念;数列极限的“ ”定义 ;注（1）掌握极限概念的关键在于对正数 二重性的理解．一方面， 必须具有任意性， 可以代表任意小的正数，只有这样才能保证数列 无限地趋近于 ．另一方面， 必须具有相对固定性，一旦给了 ，那么它是相对固定的，否则论证工作无法进行． （2）自然数 显然依赖于正数 ，一般地说，所给定的 越小， 应该越大；有时为???表示这种关系，就写成 ，但 并不是 的函数；因为从极限定义可以看出，如果当 时，（1-1）式成立，那么对任意一个 ，当 时，（1-1）式亦必然成立，所以说，找到一个 ，就能找到许多 满足要求．;二、数列极限的性质;推论 若 ，且存在 ，当 时，都有（或 ）则有 （或 ） 定理4 （保序性）若 ， ，且 ，则存在一个正整数 ，当时 ，不等式 恒成立．反之，若存在正整数 ，当 时，不等式 恒成立，且有 ， ，则有 ．（证明略，有兴趣的同学自己证） 子列 在无穷数列 中，依序取其一部分项构成的无穷数列 ，称为 的子数列(或子列)． 定理5 （子列极限）数列 收敛于 的充要条件是它的任意子列 都收敛于 ． 推论 的充要条件是奇、偶子列都收敛于 ． ;三、数列极限的四则运算;四、数列极限收敛准则;第三节 函数的极限 ;一、函数极限的定义;定义1 设函数 定义在区间 上，且存在常数 ，如果对于任意给定的 ，总存在正数 ，当 时，恒有 成立，则称 为 时函数 的极限，记为 或 定义2 设函数 定义在区间 上，且存在常数 ，如果对于任意给定的 ，总存在正数 ，当 时，恒有 成立，则称 为 时函数 的极限，记为 或 ;定义3 如果对于任意给定的小正数 （不论