第二章随机变量及其分布.pptx

第二章随机变量及其分布;关于一个随机试验,我们所关怀的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量,而这些量就是随机变量、;2、1 随机变量; 例1:引入适当的随机变量描述下列事件: ①将3个球随机地放入三个格子中,事件 A={有1个空格},B={有2个空格}, C={全有球}。 ②进行5次试验,事件 D={试验成功一次}, F={试验至少成功一次},G={至多成功3次};随机变量的分类;2、2离散型随机变量;(1) 非负性: pk ? 0, k＝1, 2, … (2) 归一性: ;例2 设随机变量X的分布律为;几个常用的离散型分布;(二)定义 设将试验独立重复进行n次,每次试验中,事件A发生的概率均为p,则称这n次试验为n重贝努里试验、;例4、从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,同时遇到红灯的概率都是1/3、 (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律、 (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率、;例5、 某人射击的命中率为0、02,他独立射击400次,试求其命中次数不少于2的概率。;上题用泊松定理 取? =np＝(400)(0、02)＝8, 故近似地有 ;例6、设某国每对夫妇的子女数X服从参数为?的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个小孩的概率为3e-2、求任选一对夫妇,至少有3个小孩的概率。 ;例7:设书中每一页上印刷错误个数服从参数为?=1/2 的泊松分布,求(1)一页上至少有一处印错的概率？ (2) 10页中至多有一页有错的概率？;2、3 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念;易知,对任意实数a, b (ab), P {aX?b}＝P{X?b}－P{X?a}＝ F(b)－F(a);二、分布函数的性质;例1 设随机变量X具分布律如右表;一般地,对离散型随机变量 X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, … 其分布函数为 ;例2:设离散r、v、 X的分布函数为:;例3 向[0,1]区间随机抛一质点,以X表示质点坐标、假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比,求X的分布函数;2、4 连续型随机变量一、概率密度;2、 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)?0,(-?x?); (2)归一性;(3) 若x是f(x)的连续点,则;(4) 对任意实数b,若X～ f(x), (-?x?),则P{X=b}＝0、 因此; 例1:已知随机变量X的概率???度为 (1)求参数A、 (2) P{0、5X3}、 (3) 求分布函数F(X)、;二、几个常用的连续型分布 1、 均匀分布;例、长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地到达车站,求乘客候车时间超过10分钟的概率、;若 X～;例 、电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1、5年,求它还能使用两年的概率为多少？;例、某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T, 设[0,t]时段内过桥的汽车数Xt服从 参数为?t的泊松分布,求T的概率密度。;其中 ?为实数, ?0 ,则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为N(?, ?2),可表为X～N(?, ?2)、; (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=?对称; f(?)＝maxf(x)＝;(2) ?的大小直截了当影响概率的分布 ?越大,曲线越平坦, ?越小,曲线越陡峻。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布;参数?＝0,?2＝1的正态分布称为标准正态分布,记作X~N(0, 1)。;分布函数表示为;一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅?(x)的值。 ;EX;例 一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的、求:使用的最初90小时内无一元件损坏的概率、; 2、5 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布律;或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk , k＝1, 2, … (其中g(xk)有相同的,其对应概率合并。);已知 X~b(n,p),求Y=2X的分布律;二、连续型随机变量函数的密度函数 1、分布函数法;例1、设X?U(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。;一般地,若X～fX(x), y=g(x)是单调可导函数,则 ;例3、已知X?N(?,?2),求 ;感谢您的聆听！