高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究.docxVIP

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究 问题与知识提出： 圆锥曲线的第三定义： 平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线, 其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线，如果时，轨迹为椭圆。 圆锥曲线的第三定义的有关结论： 1.椭圆方程中有关的经典结论 (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. (2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 (3). 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 (4). 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有 2.双曲线方程中有关的经典结论 (1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 即。 (2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有 (3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有 (4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有 典型例题： 例1．（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率 之积为?.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 例2.已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例3.设椭圆的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当取得最小值时，椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 例4.已知椭圆的左,右焦点分别为 ，，，经过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于 ，两点，△的周长为8. 求椭圆的方程； （2）经过椭圆上的一点作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆相交于异于点的，两点.若，关于坐标原点对称，求的值 巩固提升： 1．已知椭圆： 的长轴长为， ， 是其长轴顶点， 是椭圆上异于， 的动点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若动点在直线上，直线， 分别交椭圆于， 两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 2.如图,设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为． （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为,点是轨迹为上不同于的两点,且满足,求证：的面积为定值． 3．已知椭圆： 的短轴长为，离心率为，圆的圆心在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线． （1）求椭圆的标准方程； （2）试问： 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且，设直线AM，BN的斜率分别为，求的值． 5．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知?为椭圆上不同的两点．①设线段的中点为点，证明：直线?的斜率之积为定值；②若?两点满足，当的面积最大时，求的值． 6．已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M． 若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围； 证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； 若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由． 高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究 问题与知识提出： 圆锥曲线的第三定义： 平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线, 其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线，如果时，轨迹为椭圆。 圆锥曲线的第三定义的有关结论： 1.椭圆方程中有关的经典结论 (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. (2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 (3). 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 (4). 椭圆的方程为（a