初中数学竞赛：数论的方法技巧(含例题练习及答案).pdfVIP

初中数学竞赛：数论的方法技巧 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语 就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说： “用以发 现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任 何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工 作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、 质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有： 1．带余除法：若 a，b 是两个整数，b＞0，则存在两个整数 q，r，使得 a=bq+r （0≤r＜b），且 q，r 是唯一的。 特别地，如果 r=0，那么 a=bq。这时，a 被 b 整除，记作 b|a，也称 b 是 a 的约数，a 是 b 的倍数。 2．若 a|c，b|c，且 a，b 互质，则 ab|c。 3．唯一分解定理：每一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜pk 为质数，a1，a2，…，ak 为自然数，并且这种表示是 唯一的。 （1）式称为n 的质因数分解或标准分解。 4．约数个数定理：设 n 的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d （n）= （a1+1）（a2+1）…（ak+1）。 5．整数集的离散性：n 与 n+1 之间不再有其他整数。因此，不等式 x＜y 与 x≤y-1 是等价的。 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则 常常有助于问题的解决。这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0； 2．带余形式：a=bq+r； 1 m 4．2 的乘方与奇数之积式：n=2 t，其中 t 为奇数。 例 1 红、黄、白和蓝色卡片各 1 张，每张上写有 1 个数字，小明将这 4 张 卡片如下图放置，使它们构成 1 个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之 和的 10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是 1998。 问：红、黄、蓝3 张卡片上各是什么数字？ 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是 a ，a ，a ，a ，则这个四位 3 2 1 0 数可以写成：1000a +100a +10a +a ，它的各位数字之和的 10 倍是 10（a +a +a +a ） 3 2 1 0 3 2 1 0 =10a +10a +10a +10a ，这个 四位数与它的各位数字之和的 10 倍的差是： 3 2 1 0 990a+90a-9a=1998，110a+10a-a=222。 3 2 0 3 2 0 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a =8，a =1，a =2。 0 2 3 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。 abc 例 2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数(a,b,c依 次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出 5 个数acb,bac,bca,cab 与 cba abc 的和 N，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数