培优专题9_分式方程及其应用(含答案).docxVIP

分式方程及其应用 【知识精读】 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 解分式方程的一般步骤： 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； 解这个整式方程； 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 x 2 例 1. 解方程： ? ? 1 x ? 1 x ? 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以( x ? 1)( x ? 1) ，得 x 2 ? 2( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 1)， 即x 2 ? 2x ? x 2 ? ?1 ? 2， ? x ? 3 2 经检验：x ? 3 是原方程的根。 2 - 1 - 例 2. 解方程 x ? 1 ? x ? 6 ? x ? 2 ? x ? 5 x ? 2 x ? 7 x ? 3 x ? 6 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现 ( x ? 6)与( x ? 7)、( x ? 2)与( x ? 3) 的值相差 1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差 1 的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用 分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： x ? 6 ?  x ? 5 ?  x ? 2 ?  x ? 1 x ? 7 x ? 6 x ? 3 x ? 2 方程两边通分，得 1 ? 1 ( x ? 6)( x ? 7) ( x ? 2)( x ? 3) 所以( x ? 6)( x ? 7) ? ( x ? 2)( x ? 3) 即8x ? ?36 ? x ? ? 9 2 经检验：原方程的根是x ? ? 9 。 2 例 3. 解方程： 12x ? 10 ? 32x ? 34 ? 24x ? 23 ? 16x ? 19 4x ? 3 8x ? 9 8x ? 7 4x ? 5 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分 数式之和。 解：由原方程得： 3 ?  1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 1 4x ? 3 8x ? 9 8x ? 7 4x ? 5 即 2 ? 2 ? 2 ? 2 8x ? 9 8x ? 6 8x ? 10 8x ? 7 于是 1 ? 1 ， (8x ? 9)(8x ? 6) (8x ? 10)(8x ? 7) 所以(8x ? 9)(8x ? 6) ? (8x ? 10)(8x ? 7) 解得：x ? 1 经检验：x ? 1是原方程的根。 - 2 - 例 4. 解方程： 6y ? 12 ? y 2 ? 4 ? y 2 ? 0 y ? ? 4 y ? 4 y 2 ? 4 y ? 4 y 2 ? 4 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为： 6( y ? 2) ? ( y ? 2)( y ? 2) ? y 2 ? 0 ( y ? 2) 2 ( y ? 2) 2 ( y ? 2)( y ? 2) 约分，得 6 ? y ? 2 ? y 2 ? 0 y ? 2 y ? 2 ( y ? 2)( y ? 2) 方程两边都乘以( y ? 2)( y ? 2)，得 6( y ? 2) ? ( y ? 2) 2 整理，得2 y ? 16 ? y ? 8 ? y 2 ? 0 经检验：y ? 8是原方程的根。 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。 5、中考题解： 例 1．若解分式方程 2x  ? m ? 1 ?  x ? 1 产生增根，则m 的值是（ ） A. ?1或? 2 C. 1或2 x ? 1 x ? x x B. ?1或2 D. 1或? 2 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是： x ? 0或x ? ?1， 化简原方程为： 2x 2 ? (m ? 1) ? ( x ? 1) 2 ， 把 x ? 0或x ? ?1 代入解得 m ? 1或? 2 ，故选择D。 例 2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种 60 棵所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵 - 3 - 树