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第一章 微积分的基础问题;教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。;教学内容： §1 极限、实数与集合在微积分中的作用 §2 实数系的建立及邻域的概念 §3 变量无限变化的数学模型——极限 数学家启示录 （一）数学之神——阿基米德 （二）我国古代伟大数学家——祖冲之;§1 极限、实数与集合在微积分中的作用;布置作业;§2 实数系的建立及邻域的概念;§2.2刻画极限的邻域概念 与点 的距离小于 的全体实数的集合称为点 的邻域。记作： ，称为邻域的中心， 称为邻域的半径。这一邻域可用集合符号表示为 。 如果点 的 邻域 不包括点 ，则称为点 的去心邻域。 ;例题：用邻域符号和区间符号分别表示不等式 所确定的 的范围。 解： ;布置作业;§3 变量无限变化的数学模型——极限;1.数列极限的定性描述;无穷小量：以零为极限的变量称为无穷小量。 绝对值无限变大的变量称为无穷大量。 常数列的极限仍是该常数。;2.数列极限的定量描述;例 证明：;3.数列极限中蕴含的辨证思想;3.2函数极限;例：证明： 。 ;3.自变量的绝对值无限增大时的情形;4.函数极限的性质;;;3.3无穷小量;2.无穷小量的性质 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量（0除外）的倒数是无穷大量。 无穷大量的倒数是无穷小量。;3.无穷小量阶的比较 如果在某个极限过程中两个无穷小量α与β之比的极限是非零常数，表明这两个无穷小量趋近于0的速度处于同一个级别，则称α与β是同阶无穷小；特别地，当这个常数等于1时，则称α与β是等价无穷小；如果这个常数是0，则α是较β高阶的无穷小；如果比值趋于无穷，则α是较β低阶的无穷小。 ;3.4极限的四则运算;;;布置作业;数学家启示录;我国古代伟大数学家——祖冲之 祖冲之（429—500），我国南北朝时期的伟大科学家、数学家，生于刘宋文帝元嘉六年，卒于南齐东昏侯永元二年，他天资聪明，勤奋好学。 （1）在天文、历法方面，祖冲之制定了“大明历”； （2）在数学方面，祖冲之求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间。 （3）在生产应用方面，祖冲之改造了指南车，制作了水推磨等。 （4）祖冲之兴趣广泛，在哲学、音乐等方面均有很深的造诣。 ;布置作业;第二章 微积分的研究对象;（一）教学目标;（二）教学重点、难点、教学时数;（三）教学内容;1.1变量相依关系的数学模型——函数;定义　 如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个变化范围X内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作，x叫做自变量，x的取值范围X叫做函数的定义域，和x的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合Y叫做函数的值域。 ;例2　在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一项重要经济指标。 联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格尔系数小于20为绝对富裕，20以上小于40属比较富裕，40以上小于50算小康水平，50以上小于60刚够温饱，60以上则为贫困，试以图像法表示国民富裕程度。;解 以x表恩格尔系数，对富裕程度分别适当赋值，以y表之，则国民富裕程度如图2.2所示。;1.2逆向思维一例——反函数;1.3基本初等函数; 3 指数函数 定义域为( ),值域为(0, )。a1时,函数单调增加;a＜1函数单调减少。图像过点(0,1)。 ;5 三角函数;正切函数 ,定义域为 ,值域为( )。是以 为周期的周期函数,在有定义的区间上单调增加。;;(2)反余弦函数 函数 在区间[0, ]上单调减少,存在反函数,称为反余弦函数,记作 。 定义域为 [-1,1],值域为[0, ]。 显然 如图2.6所示 ;;1.4复合函数;1.5初等